第八章 第三节　空间点、线、面的位置关系-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

第三节　空间点、线、面的位置关系 [高考要求]　1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解作为推理依据的公理和定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题． [对应学生用书P154] 知识点一　四个公理及推论 1．四个公理 文字语言 图形语言 符号语言 作用 公 理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 ⇒l⊂α 可用来证明点、直线在平面内 公 理 2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α ①可用来确定一个平面；②证明点、线共面 公 理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l ①可用来确定两个平面的交线；②判断或证明多点共线；③判断或证明多线共点 公 理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 a∥b，b∥c⇒a∥c 证明空间中两条直线平行 2．公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 知识点二　空间直线的位置关系 1．位置关系的分类 空间直线 2．异面直线所成的角 (1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围：． (3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 知识点三　空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相交 a∩α＝A 1个 平行 a∥α 0个 在平 面内 a⊂α 无数个 平面与平面 平行 α∥β 0个 相交 α∩β＝l 无数个 1．唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 2．异面直线的判定定理 经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有三个公共点的两个平面必重合．(　　) (2)三条两两相交的直线确定一个平面．(　　) (3)若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α.(　　) (4)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，记作α∩β＝a.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材改编)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析　连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C， ∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°. 答案　C 3．(易错)如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β.且α∥β，则a与b(　　) A．共面 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 解析　α∥β，说明a与b无公共点， ∴a与b可能平行也可能是异面直线． 答案　D 4．(教材改编)两两平行的三条直线可能确定________个平面． 解析　若三条直线在同一平面内，则确定1个平面．若三条直线不共面，则确定3个平面． 答案　1或3 5．(活用结论)下列关于异面直线的说法正确的是________．(填序号) ①若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线； ②若a与b异面，b与c异面，则a与c异面； ③若a，b不同在平面α内，则a与b异面； ④若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面． 解析　①a⊂α，b⊂β，则a与b可能平行、异面或相交．②a与b异面，b与c异面，则a与c平行、相交或异面．③a，b不同在α内，则a与b异面或平行． ④由异面直线定义可知正确． 答案　④ [对应学生用书P156] 考点一　平面基本性质的应用(师生共研) 　 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证： (1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点． [证明]　 (1)如图，连接EF，CD1，A1B. ∵E，F分别是AB，AA1的中点， ∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F四点共面． (2)∵EF∥CD1，EF