专题11.1 反比例函数（知识解读）-2022-2023学年八年级数学下册《同步考点解读•专题训练》（苏科版）

专题11.1 反比例函数（知识解读） 【学习目标】 1. 理解反比例函数的概念和意义； 2.掌握反比例的图像和性质，并能解决相关问题 【知识点梳理】 考点1 反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 注意： （1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.　（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 考点2 反比例的图像和性质 1、 反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 注意： （1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 注意： （1）反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. （2）反比例的图像关于原点的对称 【典例分析】 【考点1 反比例函数的定义】 【典例1】 写出下列问题中的函数关系式，并指出其比例系数. （1）当圆锥的体积是150cm³时，它的高（cm）与底面积（cm²）的函数关系式； （2）功是常数时，力与物体在力的方向上通过的距离的函数关系式； （3）某实验中学八（2）班同学为校运动会制作小红花1000朵，完成的天数与该班同学每天制作的数量之间的函数关系式； 【变式1-1】写出下列函数关系式，判断其是否是反比例函数，如果是，指出比例系数． (1)功是50J时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系； (2)如果密铺地面使用面积为xcm2的长方形地砖，铺得的面积为acm2(a＞0)，那么所需的地砖块数y与x之间的函数关系． 【变式1-2】（2022秋•怀柔区校级月考）下面每题中的两种量成反比例关系的是（　　） A．苹果的单价一定，购买的数量和总价 B．看一本书，已看页数和未看页数 C．三角形的面积一定，它的底和高 D．长方形的周长一定，它的长和宽 【变式1-3】（2022秋•海淀区校级期末）下列式子中，成反比例关系的是（　　） A．圆的面积与半径 B．速度一定，行驶路程与时间 C．平行四边形面积一定，它的底和高 D．一个人跑步速度与它的体重 【典例2】（2023•红桥区模拟）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（　　） A．y＝2x﹣1 B．y＝x2+x C． D． 【变式2-1】（2022秋•西丰县期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A．y＝ B． C．y＝﹣3x D．y＝﹣ 【变式2-2】（2022秋•白云区期末）下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B．xy＝64 C．y＝5x+6 D． 【典例3】（2022秋•岳阳县期末）若函数y＝（m+4）x|m|﹣5是反比例函数，则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．4或﹣4 D．0 【变式3-1】（2022秋•惠来县期末）函数y＝xk﹣1是反比例函数，则k＝（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式3-2】（2022秋•祁阳县校级期末）若y＝（m+1）x|m|﹣2是反比例函数，则m的取值为