7.5 正态分布（精讲）-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(人教A版2019选择性必修第三册)

7.5 正态分布 一、正态曲线及其性质 1、正态曲线：我们称，x∈R，其中μ∈R，σ>0时为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． 2、正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3、正态分布的期望与方差：若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 4、正态曲线的特点： （1）非负性：对∀x∈R，，它的图象在x轴的上方． （2）定值性：曲线与x轴之间的面积为1. （3）对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． （4）最大值：曲线在x＝μ处达到峰值. （5）当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． （6）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. （7）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 5、正态分布的几何意义：若，如图所示，X取值不超过x的概率为图中区域A的面积，而为区域B的面积． 6、正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973. 二、正态分布的应用（3σ原则） 解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格． 题型一 正态曲线的图象与性质 【例1】（2023·全国·高二专题练习）随机变量服从正态分布，则标准差为（ ） A．2 B．4 C．10 D．14 【变式1-1】（2022春·广东深圳·高二深圳市龙岗区龙城高级中学校考期中）（多选）关于正态密度曲线，下列说法正确的是（ ） A．曲线关于直线对称 B．曲线的峰值为 C．越大，曲线越“矮胖” D．对任意，曲线与轴围成的面积总为1 【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·高二单元测试）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（ ） A．， B．， C．， D．， 题型二 利用正态分布的对称性求概率 【例2】（2023春·贵州遵义·高二遵义清华中学校考阶段练习）某中学制订了“光盘计划”，为了了解师生们对这一倡议的关注度和支持度，开展了一次问卷调查，调查中的2000人的得分数据.据统计此次问卷调查的得分（满分：100分）服从正态分布，则（ ） 若随机变量，则， A．0.8186 B．0.6827 C．0.47725 D．0.34135 【变式2-1】（2023春·高二课时练习）已知函数在R上单调递增的概率为，且随机变量．则等于（ ） [附：若，则，．] A．0.1359 B．0.1587 C．0.2718 D．0.3413 【变式2-2】（2023·全国·高二专题练习）设随机变量服从正态分布，若，则a的值为（ ） A．9 B．7 C．5 D．4 【变式2-3】（2023·全国·高二专题练习）重庆市奉节县所产脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径X（单位：mm）服从正态分布，则果实横径在的概率为______.（附：若，则；.） 题型三 正态分布的实际应用 【例3】（2023春·江西南昌·高二校考阶段练习）某科研院校培育蜜橘新品种，新培育的蜜橘单果质量（单位：）近似服从正态分布，现有该新品种蜜橘10000个，估计单果质量不大于的蜜橘个数为（ ） 附：若，则． A．8413 B．9772 C．9974 D．9987 【变式3-1】（2022·高二单元测试）已知服从正态分布的随机变量在区间，和内取值的概率分别为68.26%，95.44%和99.74%.若某校高二年级1000名学生的某次考试成绩服从正态分布N，则此次考试成绩在区间内的学生大约有（ ） A．477人 B．136人 C．341人 D．131人 【变式3-2】（2023·全国·高二专题练习）某车间