第六板块 大题专攻(五) “函数与导数”压轴大题的思维建模(Word教师用书)-【创新方案】2023高考数学（文科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(五)　“函数与导数”压轴大题的思维建模 一　 函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论，不等式的证明等，是近几年高考试题的命题热点．对于这类综合问题，一般是先求导，再变形、分离或分解出基本函数，最后根据题意处理． [解题示范] [典例]　(2021·全国甲卷)已知a＞0且a≠1，函数f(x)＝(x＞0)． (1)当a＝2时，求f(x)的单调区间． (2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围． [应用体验] (2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b. (1)讨论f(x)的单调性； (2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点． ①<a≤，b>2a； ②0<a<，b≤2a. 解：(1)f′(x)＝xex－2ax＝x(ex－2a)， ①当a≤0时，令f′(x)＝0⇒x＝0. 且当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增． ②当0<a<时，令f′(x)＝0⇒x1＝0，x2＝ln 2a<0. 且当x<ln 2a时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当ln 2a<x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增． ③当a＝时，f′(x)＝x(ex－1)≥0，f(x)在R上单调递增． ④当a>时，令f′(x)＝0⇒x1＝0，x2＝ln 2a>0. 且当x<0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当0<x<ln 2a时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>ln 2a时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减；当0<a<时，f(x)在(－∞，ln 2a)，(0，＋∞)上单调递增，在(ln 2a,0)上单调递减；当a＝时，f(x)在R上单调递增；当a>时，f(x)在(－∞，0)，(ln 2a，＋∞)上单调递增，在(0，ln 2a)上单调递减． (2)证明：若选①，由(1)知f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，ln 2a)上单调递减，在(ln 2a，＋∞)上单调递增． 注意到f＝e－<0，f(0)＝b－1>2a－1>0. ∴f(x)在上有一个零点； f(ln 2a)＝(ln 2a－1)·2a－a·ln22a＋b>2aln 2a－2a－aln22a＋2a＝aln 2a(2－ln 2a)， 由<a≤得0<ln 2a≤2， ∴aln 2a(2－ln 2a)≥0， ∴f(ln 2a)>0，当x≥0时，f(x)≥f(ln 2a)>0，此时f(x)无零点． 综上，f(x)在R上有一个零点． 若选②，由(1)知f(x)在(－∞，ln 2a)上单调递增，在(ln 2a，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． f(ln 2a)＝(ln 2a－1)2a－aln22a＋b≤2aln 2a－2a－aln22a＋2a＝aln 2a(2－ln 2a)． ∵0<a<，∴ln 2a<0，∴aln 2a(2－ln 2a)<0， ∴f(ln 2a)<0，∴当x≤0时，f(x)≤f(ln 2a)<0，此时f(x)无零点． 当x>0时，f(x)单调递增，注意到f(0)＝b－1≤2a－1<0， 取c＝，∵b≤2a<1，∴c>>1，又可证ec>c＋1， ∴f(c)＝(c－1)ec－ac2＋b>(c－1)(c＋1)－ac2＋b＝(1－a)c2＋b－1>c2＋b－1＝1－b＋1＋b－1＝1>0. ∴f(x)在(0，c)上有唯一零点，即f(x)在(0，＋∞)上有唯一零点． 综上，f(x)在R上有一个零点． 二　 有关x与ex，ln x的组合函数是高考的常考内容，常将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值)等．熟悉与x，ex，ln x有关的函数图象特征，在解答相关问题时做到“有形可寻”，对解题大有帮助. 有关x与ex组合的常见函数的大致图象 有关x与ln x组合的常见函数的大致图象 有关x与ex，ln x组合的函数的大致图象 技法一　对数独行侠，指数找朋友 设f(x)为可导函数，则有[ex－f(x)]′＝ex－f′(x)．若f(x)为非常数函数，求导式子中还是含有ex，针对此类型，可以采用作商的方法，构造′＝，从而达到简化证明和求最值的目的，ex总在找属于它的朋友，这个方法就叫做指数找朋友． 设f(x)为可导函数，则有[f(x)·ln x]′＝f′(x)·ln x＋f(x)·.若f(x)为非