第11讲 复数的概念及其运算-2022-2023学年高一数学重点知识梳理与典例精讲（人教A版2019必修第二册）

第11讲 复数的概念及其运算 一、数系的扩充与复数的概念 涵盖知识点：复数的概念、复数的分类、复数的相等、共轭复数 1、复数的概念 规定：，并把称作虚数单位． 设，都是实数，把形如的数叫做复数．复数通常用小写字母表示，即(，)，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部，把称为复数的代数形式，当时，复数就成为实数；时，叫做虚数，而当，时，叫做纯虚数． 全体复数所构成的集合叫做复数集．也称复数系，通常用大写字母表示． 2、复数的分类 实数 虚数 纯虚数 复数集的划分如图所示(椭圆表示复数集) 复数集是实数集的扩充，实数集为复数集的子集． 3、复数的相等 如果两个复数与的实部与虚部对应相等，即，，我们就说这两个复数相等．两个复数至少有一个为虚数时，不能比较大小． 4、共轭复数 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数的共轭复数用表示．任一实数的共轭复数仍是它本身．共轭复数有如下性质： ①；②是实数；③非零复数是纯虚数 题型一：复数的实部与虚部核心例题 复数通常用小写字母表示，即(，)，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部． 例1：以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是( ) A． B． C． D． 答案：A 解析：的虚部为，的实部为，所以新复数的实部为，虚部为， 得新复数为．故选A． 练1-1：(北师大附期中) 已知复数，表示的共轭复数，且，求实数a，b的值． 答案：或 解析：由得， ，即， 所以，解得或． 练1-2：已知，则实数_________． 答案： 解析：， 所以有，从而解得． 题型二：复数的几何意义 根据复数相等的定义，任何一个复数，都可以由一个有序实数对唯一确定．由于有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应．如图： 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数，实轴以外的点都表示虚数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 设复数(，)对应的向量为，则向量的长度叫做复数的模(或绝对值)．记作．，． 例2：(66中期中) 设复数，问当m为何值时： (1)是实数？(2)是纯虚数？ 答案：(1)或；(2) 解析：(1)要使是实数，需满足，解得或； (2)要使是纯虚数，需满足，解得． 练2-1：(2018北京四中高二(下)期中) 若复数，则“是纯虚数”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：“是纯虚数”的充要条件是，解得， “”是“”的必要不充分条件，故选B． 练2-2：实数为何值时，复数①是实数？②是虚数？③是纯虚数？④在复平面上对应的点在第二象限？⑤对应的点在直线上？ 答案：①或；②且；③；④；⑤． 解析：①由得．所以或； ②由是虚数得，所以且； ③由是纯虚数得，解得，所以． ④由在复平面上对应的点在第二象限内得，解得，所以； ⑤由对应的点在直线上，可得，解得． 例3：(2018北京海淀区高二(下)期中) 复数在复平面上对应的点位于第____象限，且____． 答案：四，2 解析：复数在复平面上对应的点为，在第四象限；． 练3-1：(海淀区期中) 已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点Z的集合构成的图形的面积是_____． 答案： 解析：图形是以原点为圆心，半径为2的圆，故面积为． 练3-2：在复平面内，复数，，所对应的点分别为，，，则平行四边形(，，，逆时针排列)的对角线的长度为 ． 答案： 解析：由已知得，，，设点坐标为， 则,，且,得点坐标为，即， 从而得的长度为． 例4：已知虚数(，)的模为，求的最大值． 答案： 解析：由已知得()，所以表示圆上的点与原点连线的斜率， 由数形结合可得，． 练4-1：，且，求的最值． 答案：，． 解析：因为，所以有，所以的轨迹是复平面上以点为圆心， 为半径的圆，故可得，． 练4-2：集合，，． (1)指出集合在复平面上所对应的点集表示的图形； (2)求集合中复数模的最大值和最小值． 答案：(1)线段；(2)最大值是，最小值为 解析：(1)集合在复平面上的点集是以(1,0)为圆心，1为半径的圆的内部及边界； 集合是以点(1,1)和(2,0)为端点的垂直平分线．因此，集合是圆截所得的一条线段． A B y x O E (2)模的最大值是，最小值是原点到的距离． 二、复数的运算 涵盖知识点：复数的加法与减法、复数的乘法、复数的除法 1、复数的加法与减法 叫做的相反数． 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)． 复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则；复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则． 2、复数的乘