2023年中考数学二轮培优练习--二次函数的最值问题

2023年中考数学二轮培优练习--二次函数的最值问题 一、综合题 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分c1与经过点A、D、B的抛物线的一部分c2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣ ），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点． （1）求A、B两点的坐标； （2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM为直角三角形时，求m的值． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1），且抛物线的对称轴与x轴的交点为Q． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，QA，QB，求四边形PAQB面积的最大值及此时P的坐标； （3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在边长为6的等边 中，D是 边上一点， ，E是 边上一动点， 交 边于F. （1）找出图中一对相似三角形，并说明理由； （2）在点E从B点运动到C点的过程中： ①求 长的最小值； ②线段 的中点所经过的路径长为 ；线段 的中点到 的最大距离为 . 4．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为 （a，b） ，当a＞b 时，点P' 的坐标为 （-a，b）；当 a≤b 时，点P' 的坐标为 （-b，a） ，这样的点 P' 叫做点 P 的“中和点”. （1）初步体验： 点 A（3，1） 的“中和点 A' ”的坐标是　 　； （2）实践应用： 已知抛物线 y=-（x+2)2+m与 x 轴交于点 C ， D （点 C 在点 D 的左侧），顶点为 E .点 P 在抛物线 y=-（x+2)2+m 上，点 P 的“中和点”为 P' .若点 P' 恰好在抛物线的对称轴上，且四边形ECP'D是菱形，求 m 的值； （3）深化拓展： 若点 F 是函数 y=-2x-6 （ -4≤x≤-2 ）图象上的一点，点 F 的“中和点”为 F' ，连结 FF' ，以 为半径作⊙Q，求出⊙Q的半径r的取值范围. 5．如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A坐标为（4，0）． （1）求该抛物线的解析式； （2）抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK+KN最小，并求出点K的坐标； （3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标； （4）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（k+1）x+k与x轴相交于A、B两点（点B位于点A的左侧），与y轴相交于点C． （1）如图1，若k=2，直接写出AB的长：AB=　 　． （2）若AB=2，则k的值为　 　． （3）如图2，若k=﹣3， ①求直线BC的解析式； （4）如图3，若k＜0，且△ABC是等腰三角形，求k的值． 7．如图，正方形边长为，点在对角线上运动不与点，重合，连接，作，交直线于点. （1）判断线段，的数量关系，并说明理由. （2）当时，求的长. （3）设线段，，，围成的图形面积为，的面积为，求的最值. 8．如图，抛物线 的顶点为 ，抛物线 与直线 交于点 ． （1）　 　， 　 　（分别用含 的式子表示）； 与 的函数关系式为　 　； （2）求点 的纵坐标 （用含 的式子表示），并求 的最大值； （3）随 的变化，抛物线 会在直角坐标系中移动，求顶点 在 轴与 之间移动（含 轴与 ）的路径的长． 9．如图，已知等边 的边长为 ，点 、 分别在 、 边上， . （1）把 沿 折叠，使得点 的对应点是点 落在 边上（如图1）.求折痕 的长度； （2）如图2，若点 在 上运动，且始终保持 ①请判断 和 是否相似？并说明理由； ②当点 在何位置时线