2023年中考九年级数学二轮培优练习--相似三角形的综合题

2023年中考九年级数学二轮培优练习--相似三角形的综合题 一、综合题 1．已知，在△ABC中，∠ABC＝90° （1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线MN的垂线，垂足分别为M、N． ①求证：△AMB∽△BNC； ②若△AMB∽△ABC，求证：AC＝AM+CN； （2）如图2，点D是CA延长线上的一点，DE⊥EB，AE＝AB，AD：BC：CA＝3：3：5，求 的值． 2．如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A．过点P（1，m）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）．连接CB，CP． （1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长； （2）当m＞1时，连接CA，问m为何值时CA⊥CP？ （3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知点 ， ，点C是直线AB上异于点B的任一点，现以BC为一边在AB右侧作正方形BCDE，射线OC与直线DE交于点P，若点C的横坐标为m． （1）求直线AB的函数表达式． （2）若点C在第一象限，且点C为OP的中点，求m的值． （3）若点C为OP的三等分点 即点C分OP成1：2的两条线段 ，请直接写出点C的坐标． 4．如图，二次函数y= x2+bx﹣ 的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E． （1）请直接写出点D的坐标：　 　； （2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值； （3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由． 5．已知：如图，四边形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB＝16 cm，BC＝6 cm，CD＝8 cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2 cm/s.点P和点Q同时出发，以QA，QP为边作平行四边形AQPE，设运动的时间为t(s)，0＜t＜5.根据题意解答下列问题： （1）求出AD的长，并用含t的代数式表示AP； （2）设△APQ的面积为S(cm2)，求S与t的函数关系式； （3）当直线QP⊥直线BD时，求t的值； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在∠ABD的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 6．已知抛物线 的顶点为A，与y轴交于点B. （1）求点A，B的坐标；（用含c的代数式表示） （2）以AB为边作平行四边形ABCD，使得点C在x轴上，点D在抛物线上. ①当四边形ABCD是矩形时，求c的值； ②当点D在AB之间的一段抛物线上运动时，求四边形ABCD面积的最大值. 7．已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）． （1）求线段OA,OB的长和经过点A，B，C的抛物线的关系式． （2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E． ①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标． ②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由． 8．如图，AB为⊙O的直径，弦 ，过点D作⊙O的切线DN，且有 . （1）求证： 是等边三角形. （2）连接CB并延长CB，交直线DN于E，连接AE，交CD于点F，若⊙O的半径为4，求EF的长. 9．阅读材料： 我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在 中， ， ，分别过 、 向经过点 直线作垂线，垂足分别为 、 ，我们很容易发现结论： ． （1）探究问题：如果 ，其他条件不变，如图②，可得到结论； ．请你说明理由． （2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线 与直线 交于点 ，且两直线夹角为 ，且 ，请你求出直线 的解析式． （3）拓展应用：如图④，在矩形 中， ， ，点 为 边上—个动点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 ，点 落在点 处，当点 在矩形 外部时，连接 ， ．若 为直角三角形时，请你探究并直接写出 的长．