考点06 复数小题8种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高一数学期中期末复习备考讲义（人教A版2019必修第二册）

考点06 复数小题8种常见考法归类 1. 复数的概念 概念 定义 复数 把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位. 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部 复数集 全体复数所构成的集合，即C＝{a＋bi|a，b∈R} 复数 相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d，其中a，b，c，d∈R 复数 分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类： 复数 共轭 复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 复数z的共轭复数用z表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么z＝a－bi 复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数 的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)对应的向量为，则向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|. 即|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R. 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是复数z＝a＋bi在复平面内对应的点Z(a，b)到坐标原点的距离 2. 复数的几何意义 为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数. 3. 复数的四则运算 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i. ②z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. ③＝＋i(z2≠0). (2)复数加、减法的几何意义 加 法 复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线OZ所表示的向量所对应的复数 减 法 复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数 (3)复数加法的运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1＋z2＝z2＋z1 结合律 (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3) (4)复数乘法的运算律：对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 4. (1±i)2＝±2i；＝i，＝－i. 5. i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中n∈N*；in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，其中n∈N. 6. zz＝|z|2＝|z|2，|z1z2|＝|z1||z2|，＝，|zn|＝|z|n. 7. 复数问题标准化、实数化是解决复数问题最基本的思想方法. 复数概念中应注意的几点：①对于复数m＋ni，如果m，n∈C(或没有明确界定m，n∈R)，则不可想当然地判定m，n∈R；②易误认为y轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点除外)；③对于a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，只注意了a＝0而漏掉了b≠0. 8. ①复数的两种几何意义：一是复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)一一对应；二是复数z＝a＋bi与平面向量一一对应，其中a，b∈R. ②由几何意义可知|z|可表示复数z对应的点与原点的距离. ③|z1－z2|可表示两点的距离，即表示复数z1与z2对应的点的距离. 9. ①复数的计算除了掌握基本运算法则外，最好熟记一些常见算式运算的结果，这对提高运算的速度和准确度都有很大的帮助. ②除法的关键是“分母实数化”. 考点一 复数的概念 （一）复数的实部与虚部 （二）复数相等 （三）复数分类 （四）复数的模 （五）共轭复数 考点二 待定系数法求复数 考点三 复数的几何意义 考点四 复数的运算 考点五 复数范围内方程根的问题 考点六 与复数模相关的轨迹（图形）问题 考点七 复数的综合应用 考点八 复数的新定义问题 考点一 复数的概念 （一）复数的实部与虚部 1．（2023秋·天津河北·高三统考期末）是虚数单位，复数的虚部为______. 2．（2023秋·贵州六盘水·高二统考期末）已知复数满足（是虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 3．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 4．（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）已知复数的实部与虚部的和为12，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 （二）复数相等 5．（2022春·青海玉树·高二校联考期末）若，其中，则（　　） A．3 B．2 C．-2 D．-3 6．（2023秋·江西·高三校联考期末）已知，则=（    ） A．3 B． C． D．2 7．（2