考点05 解三角形大题15种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高一数学期中期末复习备考讲义（人教A版2019必修第二册）

考点05 解三角形大题15种常见考法归类 （一）正弦定理之齐次式结构 结构特点：每一项中都有边或sin角且次数一致，即可实现边和对应sin角的互化 结构示例： （1）整式齐次式： ①边的齐次式 ②sin角的齐次式 （2）分式齐次式： 注：在等式(不等式)或分式中出现边或内角的正弦同次，利用正弦定理可以实现边、内角的正弦转化。如果在等式(不等式)或分式中出现边或内角的正弦同次且为一次(求角)时，一般情况要化为角的正弦，如出现二次，一般情况要化为边，再利用余弦定理。 （二）拆角合角技巧 1、化简后的式子同时含有三个角时，解题思路是减少角的个数，方法主要有以下两种 ①合角 如： ②拆角——拆单角（“单身狗角”） 如： 注：（1） ，， （2）， （3）中 ① ②（舍去） ① ② ，则或 （4） 射影定理 （三）余弦定理之不等式结构 结构特点：已知三角形一角及其对边，求面积或周长的最值 核心示例：已知△ABC中角A=60°，a=2,求b+c和bc的范围（最值） 求周长的最大值 求面积的最大值 （四）三角形最值问题 三角形中角度是最基础的要素之一,围绕角度展开的范围问题主要有两大考查内容:一方面对角度大小范围做出考查;另一方面对角度的正余弦值范围进行提问.解题难度系数并不大,但准确高效地解题还取决于对三角形内角和特点是否考虑周到. 1、角度范围问题 求解三角形的角度范围问题,常见解题思路为:(1)对所给条件做出分析,根据条件特点选择合适定理表达所求角度,若已知边长值较多则考虑余弦定理,已知角度大小则考虑正弦定理;(2)根据角度的具体表达式结构特点,讨论有关变量的具体定义域;(3)选择三角函数求值域或基本函数求值域方式,在所求定义域内求得对应值域,即可得到问题所求的角度相关范围大小. 2、边长范围问题 边长是组成三角形的另一重要元素,因此与三角形边长有关的范围问题也十分常见.由于这一类范围问题求解并不复杂,故以选择形式或填空形式出现较为多见.求解这类与边长有关的范围问题,正余弦定理的灵活运用成为解题的关键步骤,常见的解答思路一般表现为:(1)根据已知条件的特点,选择合适的定理并代人具体值,得到与问题所求的对应关系等式;(2)根据关系等式以及三角形三边之和、内角和关系特点,得到具体关系等式或不等式;(3)通过运算,求出问题所求边长对应具体取值范围. 3、面积范围问题 针对三角形面积进行提问的取值范围问题,属于中等难度的一类解三角形问题,可在选择填空或解答题中遇见其“身影”.解答这类问题,主要思路在于借助公式将面积问题等价转化为函数求值域或基本不等式求最值,进而对问题作出具体完整的解答,这些解题思路在解题过程中具体可表现为:(1)对所求三角形大致形状做出分析,明确选择面积求解公式;(2)运用正余弦定理,取得三角形边长、角度具体值,将其代人面积公式中得到具体表达式;(3)根据表达式结构特点,运用函数求值域思路或基本不等式求临界值思路,得到具体的范围大小,即对应问题所求的面积范围值. （5） 三角函数与解三角形的综合问题 1、三角函数的图象与性质的综合问题是高考考查的重点，常将三角函数的单调性、周期性、奇偶性、最值及图象、三角恒等变换等综合起来考查，有时也会与向量、解三角形等综合，难度一般不高. 2、在含有边角关系的等式中，利用正弦定理的变形a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，可直接将等式两边的边化为角；也能利用余弦定理的变形如cosA＝将角化为边. 在三角形中利用三角变换求三角式的值时，要注意角的范围的限制. 考点一 正余弦定理的应用 考点二 三角形周长、面积的计算及应用 考点三 角度范围问题 考点四 边长范围问题 考点五 周长范围问题 考点六 面积范围问题 考点七 与角平分线有关的问题 考点八 与中线有关的问题 考点九 与高线有关的问题 考点十 与外接圆、内切圆有关的问题 考点十一 解三角形在平面几何中的应用 考点十二 三角函数与解三角形的综合 考点十三 解三角形与平面向量的综合 考点十四 解三角形的实际应用 考点十五 结构不良型 考点一 正余弦定理的应用 1．（2023秋·辽宁丹东·高三统考期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． (1)求A； (2)若，求． 2．（2023秋·天津·高三统考期末）在中,角所对的边分别为.已知,,. (1)求B的值; (2)求b的值; (3)求的值. 3．（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设. (1)求； (2)若，求. 4．（2023秋·河南·高三校联考期末）在中，内角所对的边分别为的面积为． (1)求的大小； (2)若，且，求的值． 5．（2023秋·天津河北·高三统考期末）在中，内角所对的边