第五章 第三节　平面向量的数量积与平面向量应用举例-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

第三节　平面向量的数量积与平面向量应用举例 [高考要求] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． [对应学生用书P102] 知识点一　向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 知识点二　平面向量的数量积 1．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影 |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何 意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 2．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 符号表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 1．求平面向量的模的公式 (1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝＝. (2)|a±b|＝＝. (3)若a＝(x，y)，则|a|＝. 2．有关向量夹角的两个结论 (1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)． (2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的夹角的范围是.(　　) (2)向量在另一个向量上的投影为数量，而不是向量．(　　) (3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　) (4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．(教材改编)已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，则a与b的夹角θ等于(　　) A. B． C. D． 解析　cos θ＝＝＝－， 又因为0≤θ≤π，所以θ＝. 答案　B 3．(易错)(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析　由题设，|a－2b|＝3，得|a|2－4a·b＋4|b|2＝9，代入|a|＝1，|b|＝，有4a·b＝4，故a·b＝1.选择C. 答案　C 4．(活用结论)已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　根据向量数量积的定义可知，若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b>0，所以“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件． 答案　B 5．(易错)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·的值为________． 解析　在△ABC中，由余弦定理，得 cos A＝＝＝. 所以·＝||||cos(π－A)＝－||||·cos A＝－3×2×＝－. 答案　－ [对应学生用书P103] 考点一　平面向量数量积的简单应用(多维探究) 角度一　平面向量的模 　(1)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________. (2)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________. [解析]　(1)∵|a－b|＝5， ∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝9＋|b|2－2＝25， ∴|b|＝3. 故答案为3. (2)将|a＋b|＝1两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝1. ∵a2＝b2＝1， ∴1＋2a·b＋1＝1，即2a·b＝－1. ∴|a－b|＝＝ ＝＝. [答案]　(1)3　(2) 角度二　平面向量的夹角 　(2022·新高考全国卷Ⅱ)已知a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 [解析]　由已知有c＝(3＋t,4)，cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，故＝， 解得t＝5.故选C. [答案]　C 角度三　平面向量的垂直 　(1)(2022·全国甲卷·文)已知向量a＝(m,3)，b＝(1，m＋1)，若a⊥b，则m＝____