第三章 第一节 高考增分策略(5)-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P55] 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法． 　已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________． [解析]　法一　因为y＝x＋ln x，所以y′＝1＋，y′|x＝1＝2. 所以曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 因为y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切， 所以a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行). 由消去y，得ax2＋ax＋2＝0. 由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8. 法二　同法一得切线方程为y＝2x－1. 设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1). 因为y′＝2ax＋(a＋2)， 由解得 [答案]　8 　已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为________． [解析]　设l与f(x)＝ex的切点为(x1，y1)， 同理设l与g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，y2)， ∴y2＝ln x2＋2，g′(x)＝， ∴g′(x2)＝， 切点为(x2，ln x2＋2)， 切线斜率k＝， ∴切线方程为y－(ln x2＋2)＝(x－x2)， 即y＝·x＋ln x2＋1，　② 由题意知，①与②相同， 解得x1＝1或x1＝0， 当x1＝1时，切线方程为y＝ex； 当x1＝0时，切线方程为y＝x＋1， 综上，直线l的方程为y＝ex或y＝x＋1. [答案]　y＝ex或y＝x＋1 [对应学生用书P306] [保分练] 1．(2022·开封一模)函数f(x)＝ln x＋x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　) A．4x－y－3＝0 B．4x＋y－3＝0 C．x－4y－3＝0 D．x＋4y－3＝0 解析　由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋3x2，所以f(1)＝1，f′(1)＝4，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0，故选A. 答案　A 2．一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数为y＝h(t)＝，当t＝3时，水面下降的速度为(　　) A．－ cm/s B． cm/s C．－ cm/s D． cm/s 解析　由题意得，h′(t)＝＝，所以h′(3)＝＝－，故当t＝3时，水面下降的速度为 cm/s，故选B. 答案　B 3．设函数f(x)＝x＋g(x)在R上可导，且在f(x)图象上的点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋2，则g(1)＋g′(1)＝(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 解析　∵点(1，f(1))在切线y＝－x＋2上，∴f(1)＝－1＋2＝1.又f′(1)＝－1，∴f(1)＋f′(1)＝0.∵f(x)＝x＋g(x)，∴f′(x)＝1＋g′(x)，∴f(1)＋f′(1)＝1＋g(1)＋1＋g′(1)＝0，故g(1)＋g′(1)＝－2.故选A. 答案　A 4．已知直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝ln x相切，则k等于(　　) A． B． C．e D．e2 解析　由f(x)＝ln x，得f′(x)＝，设切点为(x0，ln x0)，则解得x0＝e2，则k＝＝. 答案　A 5．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(2021)＝(　　) A．1 B．2 C． D． 解析　令ex＝t，则x＝ln t，所以f(t)＝ln t＋t，故f(x)＝ln x＋x. 求导得f′(x)＝＋1，故f′(2021)＝＋1＝.故选D. 答案　D 6．设f(x)＝则f(x)dx＝________． 答案　＋ 7．已知函数f(x)＝＋ex cos x，若f′(0)＝－1，则a＝________． 解析　f′(x)＝＋ex cos x－ex sin x ＝＋ex cos x－ex sin x， ∴f′(0)＝－a＋1＝－1，则a＝2. 答案　2 8．(2022·南昌一模)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝________． 解析　因为f(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋ex，所以f′(x)＝1＋ex， 所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e. 答案　1＋e 9．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x