第三章 第一节　导数的概念及运算-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

第一节　导数的概念及运算 [高考要求] 1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数． [对应学生用书P52] 知识点一　导数的概念及几何意义 1．导数的概念 (1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . (2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数，简称导数，记作f′(x)或y′. 2．导数的几何意义 函数y＝－f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． [微提醒]　 对于已知的点，应先确定其是不是曲线的切点 (1)“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的曲线的切线方程”是不相同的，后者A必为切点，前者A未必是切点． (2)曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条． (3)切线与曲线的公共点不一定只有一个． 知识点二　导数公式与导数的运算法则 1．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝ax_ln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 2．导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ′＝(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝cf′(x)． 知识点三　复合函数的导数 设u＝g(x)在x处可导，则复合函数y＝f(g(x))在x处可导，且y′x＝f′(u)·g′(x). 1.′＝－. 2.′＝－(f(x)≠0). 3．[af(x)±bg(x)]′＝[af′(x)±bg′(x)]. 4．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 5．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，还有可能在其他处与曲线相交，而直线与抛物线相切只有一个公共点(切点). 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x)＝f′(x0)(x0为常数)表示的意义相同．(　　) (2)在曲线y＝f(x)上某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义相同．(　　) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(　　) (5)′＝cos .(　　) (6)(3x)′＝3xlog3e.(　　) (7)(log2x)′＝.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　(6)×　(7)√ 2．(教材改编)某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为(　　) A.9.1米/秒 B．6.75米/秒 C．3.1米/秒 D．2.75米/秒 解析　h′(t)＝－9.8t＋8， ∴h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1. 答案　C 3．(活用结论)函数f(x)＝ex＋在x＝1处的切线方程为________． 解析　f′(x)＝ex－， ∴f′(1)＝e－1， 又f(1)＝e＋1， ∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1， 则切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)， 即y＝(e－1)x＋2. 答案　y＝(e－1)x＋2 4．已知函数f(x)＝x ln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝________． 解析　f′(x)＝1＋ln x＋2ax， ∴f′(e)＝2ae＋2＝0， ∴a＝－. 答案　－ [对应学生用书P53] 考点一　导数的运算(自主练透) 1．下列求导运算： ①(sin a)′＝cos a(a为常数)； ②(sin x·cos x)′＝cos 2x； ③()′＝； ④(ex－ln x＋2x2)′＝ex－＋4x. 其中正确的是________． 解析　∵a为常数，∴sin a为常数，∴(sin a)′＝