4.4.1对数函数的概念、图象和性质（2） 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019）必修第一册

4.4.2 对数函数的概念、图象和性质（2） 微风课件工作室 1 2 学习目标： 1. 了解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型 . 重点：对数函数的概念、图象与性质 . 难点：对数函数性质的应用 . 核心素养：数学抽象、数学建模、直观想象 . 2. 能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点 . 3. 知道指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数 . 4. 比较几类函数模型增长的差异，并利用函数模型解决简单的实际问题 . 3 复习回顾 对数函数的定义： 一般地，函数y=logax (a>0, 且a≠1)叫做对数函数,其中x表示自变量, 定义域是(0,+∞). 图象 定义域 值域 性质 (1,0) (1)过定点(1,0), 即x=1, y=0 (0, +∞) R x=1 0<a<1 a>1 x y o x y o y=logax x=1 (1,0) (2)增函数 (2)减函数 x>1 , y>0; 0<x<1 , y<0 . x>1 , y<0; 0<x<1 , y>0 . 4 例4 溶液酸碱度的测量. 解：(1)根据对数的运算性质, 有 的浓度越大，溶液的酸性就越强 . 所以，随着[H+]的增大，pH减小，即溶液中氢离子 溶液酸碱度是通过pH计量的. pH的计算公式为pH=-lg[H+], 其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度 , 单位是摩尔/升. (1)根据对数函数性质及上述pH值的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系； (2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升，计算纯净水的PH . (2)当[H+]= 10-7 时，pH=-lg10-7=7. 故纯净水的pH是7. 4.4.2 对数函数的图象和性质 pH=-lg[H+]=lg[H+]-1=lg . 在(0, +∞)上，随着[H+]的增大， 减小，相应地 lg 也减小，即pH减小. 5 1. 某地去年的GDP(国内生产总值)为3000亿元人民币，预计未来5年的平均增长率为6.8% . 解：(1) y=3000(1+6.8%)x (0≤x≤5); 所以，约经过4年该地GDP能达到3900亿元人民币. 即 1.068x=1.3. (2)令y=3900 , (1)设经过x年达到年GDP为y亿元，试写出未来5年内，y关于x的函数解析式 ; ≈4. (2)经过几年该地GDP能达到3900亿元人民币？ 所以 x=log1.0681.3 得 3900=3000×1.068x. (0<y≤1) 6 定义域: [0, +∞) 值域：(0, 1] 定义域: (0, 1] 在4.2.1问题2中， 习惯上用x表示自变量，y表示函数，故将 四、反函数 值域：[0, +∞) …① …② 函数①和函数②互为反函数,它们的定义域与值域互相对调. y= (x≥0) (0<x≤1) 函数 (0<y≤1)是函数y= (x≥0)的反函数. (0<y≤1)中的x与y互换, 得 (0<x≤1). 7 对于指数函数y=2x , 你能利用指数与对数间的关系, 得到与之对应的对数函数吗？它们也互为反函数吗？ 互为反函数, 它们的定义域与值域正好互换, 它们的图象关于直线y=x对称. 由 y=2x 得 x=log2y ,将x与y互换得 y=log2x ,它们互为反函数. 指数函数y=ax(a>0, 且a≠1)和对数函数y=logax (a>0, 且a≠1). x y o 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 y=ax y=logax 定义域: R 值域: (0, +∞) (0, +∞) R y=log2x y=2x y=x y=2x图象上任意点P(x,y)关于直线y=x的对称点P1(y,x)在y=log2x图象上. P(x,y) P1(y,x) 8 指数函数与对数函数性质的异同 函数解析式 图象 定义域 值域 函数值的变化 单调性 指函与对函的联系 y (a>0且a≠1) y=logax (a>0且a≠1) (0,1) y=1 x y o 0<a<1 a>1 (1,0) x=1 x y o 0<a<1 a>1 (0, +∞) R (0, +∞) R 0<a<1时, x<0, y>1. x=0, y=1. x>0 , 0<y<1. a>1时, x<0, 0<y<1.