4.3.1对数的概念 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A 版（2019）必修第一册

4.3.1 对数的概念 1 2 学习目标： 1. 理解对数函数的概念，理解对数的运算性质 . 重点：对数的概念与运算性质 . 难点：运算性质和换底公式的应用 . 核心素养：数学运算、数学建模 . 2. 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或 常用对数 . 3. 了解对数在简化运算中的作用 . 3 作者：湛江市第五中学钟景荣 问题1 设2010年某市工业总产值为 a亿元, 如每年平均增长8%, 那么经过多少年工业总产值是2010年的2倍？ 作者：湛江市第五中学钟景荣 即 1.08x=2. a(1+8%)x=2a. 解：设经过x年国民生产总值是2010年的2倍, 则有 x = ？ 底数 指数 幂 这是已知底数和幂的值, 求指数的问题. 即在指数式 ax=N中, 已知a 和N.求x的问题. (这里a>0且a≠1) 这就是本章要学习的对数 . 4 一、对数的定义 x = logaN , 一般地, 如果ax=N(a>0 , 且a≠1), 那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm), 记作 其中a叫做对数的底数, N叫做真数. 二、两种特殊的对数 (1) 以10为底的对数叫常用对数(common logarithm), 并把 log10N记作lgN . (2) 以无理数 e (e=2.71828…)为底的对数叫自然对数 (natural logarithm), 并把 logeN记作lnN . “log”是拉丁文logarithm(对数)的缩写. 通过查询互联网, 进一步了解无理数e、常用对数和自然对数. l o g a N 底 5 根据对数的定义, 可以得到对数与指数间的关系: 当a>0, 且a≠1时, 三、对数与指数之间的关系 =  = log 指数 幂 对数 真数 底 N x N 底数 指数 幂 底数 对数 真数 底数还是底数 指数换对数 幂和真数互换 由于1.08x=2, 所以x=log1.082. 由于42=16, 得 log416=2. 四、对数的基本性质 由指数与对数的关系，得到如下结论： (1) 0和负数没有对数; (2) loga1=0; logaa=1. 请你课后利用指数与对数的关系证明这两个结论. x a a 6 作者：湛江市第五中学钟景荣 解：(1) log5625 = 4; (6) e2.303=10. ax =N  logaN = x (3) (5) 10-2=0.01; 例1 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1) 54=625; (2) 2-6= ; (3) ( )m=5.73. (4) =-4; (5) lg0.01=-2; (6) ln10=2.303. (2) log2 =-6 ; (4) ( )-4=16; 7 1. 把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式： 解：(1) log28 = 3; (3) (5) 102.3=n; (4) 32=9; (1) 23=8; (2) ; (3) . (4) log39=2; (5) lgn=2.3; (6) log3 =-4. (2) lnm= ; (6) 3-4= . ax =N  logaN = x 8 例2　求下列各式中x的值： =4-2 (2)因为logx8=6, 所以x6 =8. 又因为x>0, 所以 (3) lg100=x; (4) –lne2=x. 对数的底数大于0且不等于1. (3) 因为lg100=x, 所以 10x=100=102, 于是 x = 2. (4) 因为-lne2=x, 所以 lne2 =-x, e2 = e-x, 于是 x =-2. 对数式化指数式, 再利用幂的性质. (1) log64x=- ; (2) logx8=6; 解：(1)因为log64x =- , 所以 x= 9 作者：湛江市第五中学钟景荣 3. 求下列各式的值： 解：(1)设log525=x, 则 所以 x=-3, 即 lg0.001=-3. (4)设 lg0.001 = x, 则 10x = 0.001= 10-3, 所以 x = 2, 即 log525 = 2. 5x = 25 = 52. (2) log0.41 = 0. (1) log525; (2) log0.41; 先设对数值，