4.2.1指数函数的概念 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教A版高中数学必修第一册 4.2 指数函数 铜梁中学校 对于幂，我们已经把指数的范围拓展到了实数.上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法，即：实例函数定义图象性质. 这个路径对于其他基本初等函数的研究具有普适性，下面将按照这样的路径研究其他类型的基本初等函数. 人教A版高中数学必修第一册 4.2.2 指数函数的概念 实例1 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A,B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票.右表给出了A,B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量. 问题1 比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？ 追问1 为了方便观察规律，请作出两地景区游客人次变化的图象.结合图象，这两种增长变化如何用数量表示？ 直线上升 （线性增长） 非线性增长 追问2 我们发现，用“年增长量”不能刻画地景区游客人次的变化规律.那么，能不能换一个量来刻画？例如，用“年增长率”，即从2002年起，将地景区游客人次除以上一年的游客人次，看看你能否发现什么规律？ 地景区游客人次的年增长率都约为0.11，是一个常数.像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长. 追问3 能否求出地景区游客人次随时间（经过的年数）变化的函数解析式，并根据解析式说明地景区游客人次的变化情况？ 如果设经过年后的游客人次为2001年的倍，那么 这是一个函数，其中指数是自变量. 实例2 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减. 科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生包括碳14在内的放射性物质，碳14的衰减非常有规律，其准确性可以称为自然界的“准确时钟”.动植物在生产过程中衰减的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，体内原有碳14按确定的规律衰减，半衰期为5730年.这也是考古中常用碳14来推断年代的原因. 教材 科普一下 追问1 死亡生物体内碳14含量的年衰减率为多少？ 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么 追问2 能否用函数解析式刻画死亡生物体内碳14含量随时间的变化情况？ 这也是一个函数，其中指数是自变量. 问题3 比较上述两个实例： 地景区游客人次增长与碳14衰减，它们所反映的变化规律有什么共同特征？ 追问1 从地游客人次增长与碳14衰减的数据看，它们的变化有什么共同特征？ 它们的变化率（增长率、衰减率）是常数. 追问2 从地游客人次增长的函数解析式与碳14衰减的函数解析式有什么共同特征？ 如果用代替底数，则它们都是的形式，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量. 一般地，函数叫做指数函数，其中为自变量，定义域为 在指数函数中，当时 可表示为表示增长率； 可表示为表示衰减率； 因此，指数函数是刻画呈指数增长或指数衰减变化规律的函数模型. 一般地，函数叫做指数函数，其中为自变量，定义域为 追问1 为什么？ 追问2 指数函数有哪些特征？ 追问3 指数函数与幂函数在解析式上有什么区别？ ①底数的常数； ②指数位置是自变量，且的系数是1； ③的系数是1. 例1已知指数函数，且，求的值. 2.已知函数,且 ,求函数的一个解析式. 例2(2).在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？ 设生物死亡年后，它体内碳14含量为 如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么 在实际问题中，经常会遇到类似于例2(1)的指数增长模型： 设原有量为，每次的增长率为，经过次增长，该量增长到，则. 形如的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型. 3.在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？ $