2023年九年级中考数学复习专题图形变换专题（2）讲义

九下数学复习专题图形变换专题（2） 考向一 图形的旋转——鸡爪模型 鸡爪模型 识别：共顶点的三条线段，其中两条线段相等； 方法：通过第三条线段构造共顶角的等腰三角形（旋转），形成手拉手全等图形． 类型 图形 辅助线 等边三角形 点P在 三角形内 点P在 三角形外 正方形 等腰直角三角形 考点1﹣1 图形的旋转——鸡爪模型 【例题1】如图，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1， 则∠BPC = ，等边三角形ABC的边长为 ． 【练习1】如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝2，PC＝．则∠BPC = ，正方形ABCD的边长为 ． 练习1图 例题2图 【例题2】在等边△ABC内部有一点P，若∠BPC=150°，PB=12，PC=5，则PA = ． 【练习2】如图，点P在等腰直角三角形ABC中，∠APB=135°，求证：2PA² + PB² = PC²． 【例题3】在等边△ABC外部有一点P，若∠BPC=120°，PB=3，PC=4，则PA = ． 【练习3-1】如图①，在四边形ABCD中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，试证明：AC + BC = CD． 【练习3-2】如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC． （1）求证：DC是∠ADB的平分线； （2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由； 考向二 瓜豆模型 考点2﹣1 直线轨迹 识别：两个定值 （1）主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）； （2）主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP : AQ是定值）． 结论： （1）P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ； （当∠PAQ ≤ 90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角） （2）P、Q两点轨迹长度之比等于AP : AQ． （由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN） 【例题4】如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________． 【练习4】如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y = -x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________． 【例题5】如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值． 【练习5】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为________． 圆弧轨迹 识别：两个定值 （1）主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）； （2）主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP : AQ是定值）． 结论： （1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM； （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP : AQ = AO : AM，也等于两圆半径之比． 考点2﹣1 圆弧轨迹 【例题6】如图，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是 ． 【练习6】如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为 ． 【例题7】如图，正方形ABCD中，AB =，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值． 【练习7】△ABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $