第一章 三角形的证明（题型过关）-【高分突破系列】2022-2023学年八年级数学下册同步知识点剖析精品讲义（北师大版）

第一章 三角形的证明  【题型一】等腰三角形的定义 典例1．（2022秋·甘肃定西·八年级统考期中）回答下列问题： (1)一个等腰三角形的周长是，若它的一条边长为，求它的另两条边长． (2)一个等腰三角形的一边长是，另一边长是，求这个等腰三角形的周长． 变式1-1．（2022秋·全国·八年级期中）用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长． (2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由． 变式1-2（2022秋·福建龙岩·八年级统考期中）已知：如图，，交于点，，，，垂足分别为，．求证：是等腰三角形． 变式1-3．（2022秋·辽宁营口·八年级校考期中）已知的三边长分别为，，． （1）若，，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，若为奇数，试判断的形状，并说明理由． 变式1-4．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，已知在中，，，，若动点P从点B开始，按的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求CP的长． (2)出发几秒钟后，CP恰好平分的周长． (3)当t为何值时，为等腰三角形？ 【题型二】利用等腰三角形的性质求解 典例2．（2022秋·浙江金华·八年级统考期中）已知：如图，在中，，，试求和的度数． 变式2-1．（2022秋·浙江丽水·八年级校联考期中）如图所示，在中，，点是上一点，于点， (1)若，求的度数； (2)若点是的中点，证明． 变式2-2．（2022春·山东枣庄·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E． (1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝______°，∠DEC＝______°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变______（填“大”或“小”）； (2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请写出∠BDA的度数．并说明理由． 变式2-3．（2022春·辽宁沈阳·八年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考期中）学习了定理“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合”之后，小波同学有如下思考：他认为把该定理的条件和结论互换，所得的命题应该也是真命题，于是他做了如下探究． (1)如图①，在中，AD平分，，求证：．请你帮助他证明． (2)接下来，他又想到一个问题：“如图②，若在中，AD平分，，则”．请你判断（2）是否一定成立，若一定成立请你证明，若不一定成立，请说明理由． 变式2-4．（2022秋·福建南平·八年级统考期中）如图，在中，，是边上的中点，于点，于点．求证：． 【题型三】等腰三角形性质与判定综合 典例3．（2022秋·江西宜春·八年级统考期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；     图1     图2 (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由. 变式3-1．（2022秋·广东清远·八年级校联考期中）如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts． (1)出发3s后，求PQ的长； (2)当点Q在边BC上运动时，出发多久后，△PQB能形成等腰三角形？ (3)当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 变式3-2．（2022秋·广东江门·八年级校考期中）如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点O是△ABC内的一点，∠BOC=130°． （1）求证：OB=DC； （2）求∠DCO的大小； （3）设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形． 变式3-3．（2022秋·江西南昌·八年级南昌市外国语学校校考期中）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，