第二章 导数及其应用 单元检测卷-2022-2023学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第二章 导数及其应用 单元检测卷 一、单选题 1．已知函数的导函数为的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则的极小值为（    ） A．2 B． C． D． 5．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．给定函数，若数列满足，则称数列为函数的牛顿数列．已知为的牛顿数列，，且，数列的前项和为．则（　　） A． B． C． D． 7．两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（    ） A． B． C．1 D．2 8．意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线.直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案.1691年他的弟弟约翰·伯努利和莱布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式一双曲余弦函数：，（为自然对数的底数）.当时，记，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知定义在上的函数，其导函数分别为，若，，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．是周期函数 D． 10．下列求导正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知函数与的图象如图所示，则（    ） A．在区间上是单调递增的 B．在区间上是单调递减的 C．在区间上是单调递减的 D．在区间单调递减的 12．若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有下界，其中为函数的一个下界；若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有上界，其中为函数的一个上界．如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界，则下列说法正确的是（   ） A．1是函数的一个下界 B．函数有下界，无上界 C．函数有上界，无下界 D．函数有界 三、填空题 13．函数的单调递增区间为__________. 14．已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围是__________. 15．已知函数的导函数为，且，则______． 16．已知点在函数的图象上，过点作曲线的两条切线，，若的倾斜角互补，则___________. 四、解答题 17．已知函数，． (1)当时，证明：在上恒成立； (2)若有2个零点，求a的取值范围． 18．已知函数. (1)求的单调区间； (2)证明：. 19．已知 (1)若，过点作曲线的切线l，求切线l的方程； (2)若，是函数的两个不同的极值点，求证：； (3)时，对恒成立，证明不等式对任意的正整数n都成立. 20．已知函数，． (1)若曲线有两条过点的切线，求实数m的取值范围； (2)若当时，不等式恒成立，求实数a的取值集合． 21．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若对恒成立，求实数的取值范围. 22．我国南北朝时期的数学家祖冲之（公元429年-500年）计算出圆周率的精确度记录在世界保持了千年之久，德国数学家鲁道夫（公元1540年-1610年）用一生精力计算出了圆周率的35位小数，随着科技的进步，一些常数的精确度不断被刷新．例如：我们很容易能利用计算器得出函数的零点的近似值，为了实际应用，本题中取的值为-0.57．哈三中毕业生创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库，内部建造了一条智能运货总干线，其在已经建立的直角坐标系中的函数解析式为，其在处的切线为，现计划再建一条总干线，其中m为待定的常数． 注明：本题中计算的最终结果均用数字表示． (1)求出的直线方程，并且证明：在直角坐标系中，智能运货总干线上的点不在直线的上方； (2)在直角坐标系中，设直线，计划将仓库中直线与之间的部分设为隔离区，两条运货总干线、分别在各自的区域内，即曲线上的点不能越过直线，求实数m的取值范围． 参考答案 1．A 【分析】直接根据导数的几何意义得到答案. 【详解】分别表示在时，对应切线的斜率， 根据图象知. 故选：A 2．A 【分析】根据已知条件构造函数，利用导数法求函数的单调性及指数函数的单调性，结合不等式的性质即可求解. 【详解】由，得， 令，，则 ， 所以在上恒成立， 所以在上为减函数， 因为，且在上单调性递增； 所以， 所以， 所以， 所以，即． 故选：A. 【点睛】关键点睛：解决此题的关键是构造函数，利用导数法求函数的单调性，结合指数函数的单调性及不等式的性质即可. 3．C 【分析】利用导数求得单调递减区间，问题等价于单调递