2023年辽宁省鞍山市中考数学（能力提升）专题复习 二次函数综合

2023年辽宁省鞍山市中考数学（能力提升）专题复习 二次函数综合 第一部分：考点解读 一、二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 二、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 三、二次函数的图象及性质 1．二次函数的图象与性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时， y最小值= 当x=–时， y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为y轴 ab>0（a与b同号） 对称轴在y轴左侧 ab<0（a与b异号） 对称轴在y轴右侧 c c=0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 b2–4ac b2–4ac=0 与x轴有唯一交点（顶点） b2–4ac>0 与x轴有两个交点 b2–4ac<0 与x轴没有交点 四、抛物线的平移 1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）． 2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下： 3．注意 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 五、二次函数与一元二次方程的关系 1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 第二部分：真题重现 例题1．（2022•鞍山）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），连接BC． （1）求抛物线的解析式． （2）点P是第三象限抛物线上一点，直线PB与y轴交于点D，△BCD的面积为12，求点P的坐标． （3）在（2）的条件下，若点E是线段BC上点，连接OE，将△OEB沿直线OE翻折得到△OEB'，当直线EB'与直线BP相交所成锐角为45°，时，求点B'的坐标． 【标准答题】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c， ∴， 解得， ∴y＝﹣x2+x+2； （2）令y＝0，则﹣x2+x+2＝0， 解得x＝﹣1或x＝4， ∴B（4，0）， ∴OB＝4， ∴S△BCD＝×4×（2+OD）＝12， ∴OD＝4， ∴D（0，﹣4）， 设直线BD的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y＝x﹣4， 联立方程组， 解得或， ∴P（﹣3，﹣7）； （3）如图1，当B'在第一象限时， 设直线BC的解析式为y＝k'x+b'， ∴， 解得， ∴y＝﹣x+2， 设E（t，﹣t+2）， ∴OE＝t，EH＝﹣t+2， ∵D（0，﹣4），B（4，0）， ∴OB＝OD， ∴∠ODB＝45°， ∵直线EB'与直线BP相交所成锐角为45°， ∴EB'∥CD， 由折叠可知，OB'＝BO＝4，BE＝B'E， 在Rt△OHB'中，B'H＝， ∴B'E＝﹣（﹣t+2）＝+t﹣2， ∴BE＝+t﹣2， 在Rt△BHE中，（+t﹣2）2＝（4﹣t）2+（﹣t+2）2， 解得t＝， ∵0≤t≤4， ∴t＝， ∴B'（，）； 如图2，当B'在第二象限，∠BGB'＝45°时， ∵∠ABP＝45°， ∴B'G∥x轴， ∵B'E＝BO， ∴四边形 B'OBE是平行四边形， ∴B'E＝4， ∴B'（t﹣4，﹣t+2）， 由折叠可知OB＝OB'＝4， ∴平行四边形OBEB'是菱形， ∴BE＝OB