第七章 第4节 数列求和-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第四节　数列求和 课标解读：1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握数列求和的几种常见方法． 考向预测：数列求和是高考考查的重点知识，预计2024年高考会考查等差、等比数列的前n项和公式以及其他求和公式，可能与通项公式相结合，也有可能与函数、方程、不等式等相结合，综合命题，难度适中. 数列求和的几种常用方法 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式 ①已知等差数列的第1项和第n项求前n项和Sn＝； ②已知等差数列的第1项和公差求前n项和Sn＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式 当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时， ①已知等比数列的第1项和第n项求前n项和Sn＝； ②已知等比数列的第1项和公比求前n项和Sn＝. 2．分组求和法与并项求和法 (1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 4．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． 5．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的． 1．1＋2＋3＋4＋…＋n＝. 2．12＋22＋…＋n2＝. 3．裂项求和常用的变形 (1)＝－. (2)＝. (3)＝. (4)＝. (5)＝＝. (6)＝－. (7)＝(－)． (8)＝(－)． (9)＝＝－. (10)＝＝·＝－. (11)＝－. (12)＝－. 4．在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)设数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S9＝2.(　　) (2)<＝－.(　　) (3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求和．(　　) (4)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．小题热身 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5＝(　　) A．1 B． C． D． 答案　C 解析　因为an＝＝＝－，所以S5＝＋＋…＋＝1－＝. (2)(2023·广东广州天河区模拟)若数列{an}满足an＝(－1)n－1·，则{an}的前2022项和为(　　) A. B． C. D． 答案　D 解析　当n为奇数时，an＝＋，当n为偶数时，an＝－，∴S2022＝－＋－……＋－＝1－＝. (3)数列{2n－2n}的前n项和Sn＝________. 答案　2n＋1－n2－n－2 解析　依题意，得Sn＝－＝2n＋1－n2－n－2. (4)在数列{an}中，a1＝1，anan＋1＝－2，则S100＝________. 答案　－50 解析　根据题意，由a1＝1，a1a2＝－2，得a2＝－2，又a2a3＝－2，得a3＝1，a3a4＝－2，得a4＝－2，…，所以{an}中所有的奇数项均为1，所有的偶数项均为－2，所以S100＝a1＋a2＋…＋a99＋a100＝1－2＋…＋1－2＝50×(－1)＝－50. 考点一 拆项分组法求和 　(2022·辽宁沈阳重点高中联考)已知数列{an}满足4an＝3Sn＋1，其中Sn为{an}的前n项和，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设{bn－an}是等差数列，且b1＝2，b2＝6，求{bn}的前n项和Tn. 解　(1)∵4an＝3Sn＋1， ∴当n≥2时，4an－1＝3Sn－1＋1， 两式相减可得4an－4an－1＝3an， 即an＝4an－1， 当n＝1时，4a1＝3a1＋1，解得a1＝1. ∴数列{an}是等比数列，首项为1，公比为4， ∴an＝4n－1. (2)设等差数列{bn－an}的公差为d， ∵b1－a1＝2－1＝1，b2－a2＝6－4＝2， ∴d＝2－1＝1，∴bn－an＝1＋(n－1)×1＝n，∴bn＝n＋4n－1. ∴{bn}的前n项和Tn＝＋＝＋(4n－1)． 　　 (1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和． (2)若数列{cn}的通项公式为cn＝其中数列{an}，{bn}是等比