2023年中考数学一轮复习（基础篇）：二次函数的最值

2023年中考数学一轮复习（基础篇）：二次函数的最值 1．如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB=6，AC=8．点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中： （1）求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等； （2）求△PQR面积的最小值； （3）用t（秒）（0≤t≤2）表示运动时间，是否存在t，使∠PQR=90°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 2．已知，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于 ， 两点，点 在点 左侧.点 的坐标为 ， . （1）求抛物线的解析式； （2）当 时，如图所示，若点 是第三象限抛物线上方的动点，设点 的横坐标为 ，三角形 的面积为 ，求出 与 的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围；请问当 为何值时， 有最大值？最大值是多少. 3．如图，已知 是⊙ 的直径，且 ，点 在半径 上(点 与点 、点 不重合)，过点 作 的垂线交⊙ 于点 . 连接 ，过点 作 的平行线交⊙ 于点 ，交 的延长线于点 . （1）若点 是弧BD的中点，求 的度数； （2）求证： ； （3）设 ，则当 为何值时 的值最大? 最大值是多少? 4．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？并请求出其中某一个点Q的坐标． 5．已知：抛物线 经过点 和 ，与x轴交于另一点A. （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接 ，作直线 ，点P为直线 上方的抛物线上的点. ①当点P关于直线 的对称点 恰好在坐标轴上时，求此时点P的坐标； ②如图2，过点P作 的平行线，与直线 交于点D.过点P作直线 的垂线，与直线 交于点E.求 周长的最大值. 6．已知：如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）． （1）求该抛物线的解析式； （2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标； （3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣4），直线x=﹣2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=﹣x2从点O沿OA方向平移，与直线x=﹣2交于点P，顶点M到点A时停止移动． （1）线段OA所在直线的函数解析式是　 　； （2）设平移后抛物线的顶点M的横坐标为m，问：当m为何值时，线段PA最长？并求出此时PA的长． （3）若平移后抛物线交y轴于点Q，是否存在点Q使得△OMQ为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣1，0），（5，0），（0，2）． （1）求过A，B，C三点的抛物线解析式； （2）若点P从A点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE=PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．若点P运动的时间为t秒，（0≤t≤6）设△PBF的面积为S； ①求S与t的函数关系式； ②当t是多少时，△PBF的面积最大，最大面积是多少？ （3）点P在移动的过程中，△PBF能否成为直角三角形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度向C点运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？ （3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使 ，求K点坐标． 10．如图，已知抛物线y=﹣ x2+bx+