4.3.2 用乘法公式分解因式 课件2022-2023学年浙教版数学七年级下册

第四章 因式分解 4.3 用乘法公式分解因式（2） 1 1、说一说平方差公式？ 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 即： a2-b2=(a+b)(a-b) 2、利用平方差公式分解因式的多项式有什么特征？ （1）两项； （2）两项符号相反； （3）两项可写成数或式的平方形式. 注意：多项式的因式分解要分解到不能再分解为止. 你还记得乘法的完全平方公式吗？ (a±b)2=a2±2ab+b2 公式反过来成立吗？ a2±2ab+b2=(a±b)2 由乘法的完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2， 可得： a2+2ab+b2＝(a+b)2， a2-2ab+b2＝(a-b)2 两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方. 完全平方公式 注意：我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式. 4 多项式9x2-6x+1能用完全平方公式吗？ a2+2ab+b2＝(a+b)2，a2-2ab+b2＝(a-b)2 分解因式吗?如果能的话，a,b分别表示什么? 9x2-6x+1 =（3x）2-2·（3x）·1+12 a2-2ab+b2 完全平方式 =（a-b）2 =（3x-1）2 5 做一做：填写下表 多项式 是否是完全平方式 表示成(a±b)2的形式 a表示什么 b表示什么 是 是 不是 不是 是 是 6 完全平方式a2+2ab+b2，a2-2ab+b2的特点： （1）有三部分组成； （2）其中有两部分分别是某两个数（或式）的平方，且这两部分同号． （3）另一部分是上述两数（或式）的乘积的2倍，符号可正可负． 7 一般地，利用公式 a2-b2=(a+b)(a-b)，或a2±2ab+b2=(a±b)2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法. 公式法 注意：公式中的a，b可以是数，也可以是整式. 8 例3：把下列各式分解因式: (1)4a2+12ab+9b2. (2) -x2+4xy-4y2. (3) 3ax2+6axy+3ay2. 解： (1) 4a2+12ab+9b2 =(2a)2+2·(2a)·(3b)+(3b)2 =(2a+3b)2. (2) -x2+4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2. =-[x2-2·x·(2y)+(2y)2] (3) 3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2. 9 [教材例3变式题] 将下列各式分解因式: (1)x3-2x2+x;　　　(2)16a4-8a2+1. 解: (1)x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2. (2)16a4-8a2+1=(4a2)2-2×4a2×1+12 =(4a2-1)2 =(2a+1)2(2a-1)2. 10 因式分解的一般步骤 (1)观察多项式是否存在公因式; (2)若提取公因式后的式子是两项或三项,则考虑是否符合平方差公式或完全平方公式的特点; (3)检查每个因式是否分解彻底. 11 [教材补充例题] 已知x(x-1)-(x2-y)=-3,求x2+y2-2xy的值. 解: ∵x(x-1)-(x2-y)=-3, ∴x2-x-x2+y=-3,即x-y=3, ∴x2+y2-2xy=(x-y)2=9. 12 有些计算题可利用因式分解的方法来进行计算,以简化运算过程. 13 例4：分解因式:(2x+y)2-6(2x+y)+9. 分析：把(2x+y)看做一个整体,多项式就是一个关于(2x+y)的完全平方式. 解： (2x+y)2-6(2x+y)+9 =[(2x+y)-3]2 =(2x+y)2-2·(2x+y)·3+32 =(2x+y-3)2. 14 特征 运用完全平方公式简化运算 完全平方公式 运用完全平方公式分解因式 15 1.下列二次三项式是完全平方式的是 (　　) A.x2-8x-16 B.x2+8x+16 C.x2-4x-16 D.x2+4x+16 2.已知x2-10x+m是一个完全平方式,则m的值为 (　　) A.10 B.20 C.25 D.50 B C 16 3.分解因式:(1)[2019·永康期末] x2+14x+49; (2)81-18a+a2; (1)(x+7)2 (2)(9-a)2　 17 4.利用因式分解计算下列各题: (1)972+97×6+32; (2)1072-107×14+49. 解:(1)972+97×6+32=97