专题4.4 平行四边形及其性质（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）

专题4.4 平行四边形及其性质（知识讲解） 【学习目标】 1．理解平行四边形的定义，从角、边、对角线三个角度理解平行四边形的性质定理； 2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题． 3.认识平行四边形对角线分得的三角形的关系及拓展关系 4. 灵活运用综合运用平行四边形的性质定理进行证明和计算． 【要点梳理】 要点一、平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 特别说明： （1） 平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对； （2） 相对的边为对边，有两对； （3） 相邻的两角为邻角，有四对； （4） 相对的角为对角，有两对； （5） 对角线有两条. 要点二、平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形对角相等，邻角互补； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心； 特别说明： （1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 要点三、平行线间的距离 1.两条平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值. （2）平行线间的距离处处相等 任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 2.平行四边形的面积： 1.平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等； 2.平行四边形对角线得的四个三角形面积相等，如图1 3. 平行四边形内任意一个分得的四个三角形的四个三角形面积有如下关系：如图2 图1 图二 图三 要点四、平面直角坐标系中平行四边形 在平面直角坐标系中，如图三，四边形ABCD是平行四边形，若; ; ; ,则有： 【典型例题】 类型一、平行四边形的性质➽➼作图✬✬求线段长✬✬求角度✬✬求面积 1．如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，AC=BC=5，AB=6，AE是△ABC的中线． (1)用无刻度的直尺画出△ABC的高CH（保留画图痕迹）； (2)求△ACE的面积． 【答案】(1)详见分析；(2)6 【分析】（1）连接BD，BD与AE交于点F，连接CF并延长到AB，与AB交于点H，则CH为△ABC的高；根据平行四边形的性质可得BO为△ABC的中线，根据AC=BC，可得△ACE≌△BCO，从而得到AE=BO，进而得到△ABO≌△BAE，可得到FA=FB，再根据线段垂直平分线的判定定理，即可求解； （2）根据等腰三角形三线合一的性质可求得AH的长，再由勾股定理求得CH的长，继而求得△ABC的面积，又由AE是△ABC的中线，求得△ACE的面积． （1）解：如图，连接BD，BD与AE交于点F，与AC交于点O，连接CF并延长到AB，则它与AB的交点即为H． 理由如下： ∵BD、AC是平行四边形ABCD的对角线， ∴点O是AC的中点，即BO为△ABC的中线， ∵AE是△ABC的中线，AC=BC， ∴CO=CE，AO=BE， ∵∠BAC=∠BAC， ∴△ACE≌△BCO， ∴AE=BO， ∵AO=BE，AB=BA， ∴△ABO≌△BAE（SSS）， ∴∠ABO=∠BAE， ∴FA=FB， ∵AC=BC， ∴CH是AB的垂直平分线， ∴CH是△ABC的高； （2）解：∵AC=BC=5，AB=6，CH⊥AB， ∴AH=AB=3， 由勾股定理可得， ∴S△ABC=AB•CH=×6×4=12， ∵AE是△ABC的中线， ∴S△ACE=S△ABC=6． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 举一反三： 【变式1】已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．