8.6.1 直线与直线垂直学案-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

高一数学必修第二册第八章导学案 8. 6. 1 直线与直线垂直 8. 6　空间直线、平面的垂直 8. 6. 1 直线与直线垂直 【教学目标】 1.理解异面直线所成角的概念. 2.会求异面直线所成的角. 3.能用异面直线所成角证明空间中两直线垂直． 【自主学习】 1.异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)空间两条直线所成角α的取值范围：0°≤α≤90°. (3)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b. 2.求两条异面直线所成的角的一般步骤 (1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角. (2)计算角：求角度，常利用三角形. (3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角. 【课内探究】 例1. 如图所示，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求： (1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ (2)BE与CG所成的角； (3)FO与BD所成的角. 例2. 如图，在正方体中，为底面的中心.求证 例3. 如图所示，四面体A－BCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2.求EF的长度. 【当堂检测】 一、单选题 1．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．相交成60° D．异面直线 2．，，是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（    ） A．若直线，异面，，异面，则，异面 B．若直线，相交，，相交，则，相交 C．若，则，与所成的角相等 D．若，，则 3．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（    ） A．90° B．45° C．60° D．30° 4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是　(　) A．空间四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 5．正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱侧面对角线与所成的角是（    ） A． B． C． D． 6．点E、F分别是三棱锥P－ABC的棱AP、BC的中点，AB＝6，PC＝8，EF＝5，则异面直线AB与PC所成的角为 (　　) A．60° B．45° C．30° D．90° 二、多选题 7．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（    ） A． CC1与B1E是异面直线 B． B．C1C与AE共面 C． AE与B1C1是异面直线 D． D．AE与B1C1所成的角为60° 三、填空题 8．如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，则与所成的角是________． 9．如果异面直线、所成角为，那么的取值范围是_____________．(用弧度表示) 10．已知空间四边形，连接和，且，点是线段的中点，则异面直线和所成的角的余弦值是______． 11．已知两条异面直线a，b所成角为60°，在直线a上取点C，E．在直线b上取点D，F，使，且．已知，则线段EF的长为______． 四、解答题 12．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小． 13．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (1)求A1C1与B1C所成角的大小； (2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小. 14． 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求异面直线AC1与B1D1所成的角的大小． 15．如图，空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD=BC=a，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于点E，F，G，H.E在AB的何处时截面EGFH的面积最大?最大面积是多少? 1 学科网（北京）股份有限公司 $