专题20 立体几何之平行、垂直关系的证明（典型例题+跟踪训练）-【解答题抢分专题】备战2023年高考数学精讲精练（新高考通用）

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用） 专题20 立体几何之平行、垂直关系的证明 目录一览 一、典型例题讲解 二、梳理必备知识 三、基础知识过关 四、解题技巧实战 五、跟踪训练达标 （1）利用线面平行性质定理证线面平行 （2）利用相似证线面平行 （3）利用面面平行证线面平行 （4）证共面问题 （5）证面面平行 （6）证线面垂直 （7）证线线垂直 （8）证面面垂直 六、高考真题衔接 一、典型例题讲解 【典例1】如图，在直三棱柱中，点分别是中点，平面平面． (1)证明：； 【典例2】如图，在圆台中，分别为上、下底面直径，且，， 为异于的一条母线． (1)若为的中点，证明：平面； 【典例3】如图，四棱锥中，，且，直线与平面的所成角为分别是和的中点. (1)证明：平面； 【典例4】如图，在正方体中，E、F分别是AB、AA1的中点，求证： (1)证明：E、C、D1、F四点共面； 【典例5】在正方体中．为底面中心，为中点，为中点．证明：平面平面PAO． 【典例6】如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，，点是的中点，点在边上移动. (1)证明：平面； 【典例7】如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，，分别是的中点． (1)求证：； 【典例8】在三棱锥中，平面，，，F为棱PC上一点，满足于F．求证：平面平面； 【典例详解】 【典例1】【分析】（1）取取中点G，连接，，证明平面，进而根据线面平行性质定理证明即可； 【详解】（1）证明：取中点G，连接，，∵分别是，中点 ∴且 又∵且，∴ ∴四边形为平行四边形 ∴平面平面，∴平面， ∵平面，平面平面，∴ 【典例2】【分析】（1）如图根据题意和圆台的结构可知平面平面，有面面平行的性质可得，根据相似三角形的性质可得为中点，则，结合线面平行的判定定理即可证明； 【详解】（1）如图，连接． 因为在圆台中，上、下底面直径分别为，且， 所以为圆台母线且交于一点P，所以四点共面. 在圆台中，平面平面， 由平面平面，平面平面，得. 又，所以， 所以，即为中点． 在中，又M为的中点，所以． 因为平面，平面， 所以平面； 【典例3】【分析】（1）取的中点，连接，通过证明平面平面，可得平面； 【详解】（1）取的中点，连接， 是的中点，，平面平面， 平面，同理可得平面， 平面平面， 平面平面，平面，平面； 【典例4】【分析】（1）利用三角形的中位线及平行四边形的性质证明，从而得到四点共面； 【详解】（1）证明：如图，连接，，. 在正方体中，E、F分别是AB、AA1的中点，所以 . 又，且，所以四边形是平行四边形，所以. ，所以E、C、D1、F四点共面； 【典例5】【分析】根据线面、面面平行的判定定理分析证明. 【详解】由题意可得：分别为的中点，则， 平面，平面， ∴平面， 连接，由题意可得：分别为的中点，则，且， ∵，且，则，且， 故为平行四边形，则， 平面，平面，∴平面， ，平面，故平面平面PAO. 【典例7】如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，，分别是的中点． (1)求证：； 【典例8】在三棱锥中，平面，，，F为棱PC上一点，满足于F．求证：平面平面； 【典例详解】 【典例6】【分析】（1）利用线面垂直的性质定理和判定定理证明即可； 【详解】（1）证明：底面平面，， 在矩形中，因为， 平面， 平面，（通过线面垂直证线线垂直） 又，点是的中点，（“三线合一”） ，且平面，平面，平面. 【典例7】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明出平面，进而可得，又，则结论成立； 【详解】（1）平面，平面，； 四边形为正方形，； 平面，，，又平面，； 分别为的中点，，. 【典例8】【答案】证明见解析 【分析】由题可得，利用线面垂直的性质及判定定理可得平面，进而平面，然后根据面面垂直的判定定理即得； 【详解】因为，， 由余弦定理，， 解得，，所以（勾股定理逆定理） 又平面，平面，所以（通过线面垂直证线线垂直） 又，平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 解题技巧：平行关系的证明需要作辅助线的话，记得利用平移的思路去找，辅助点中的一个往往与中点有关！本专题中的平行关系的证明属于不常见类型，属于能力提升。 解题技巧：掌握基本的垂直关系，特别是对等腰三角形“三线合一”、勾股定理逆定理等条件的敏感性，其中面面垂直的性质定理和相似、全等属于适中、较难题中考查比较多的。最后向量法根据题目情况去使用！ 二、梳理必备知识 1.线面平行平行的判定 文字语言 图形语言 符号语言 线∥线线∥面 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行 面∥面线∥面