2023年中考数学高频考点突破—圆的切线的证明

2023年中考数学高频考点突破—圆的切线的证明 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长． 2．如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点． （1）求证：PN与⊙O相切； （2）如果∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的长． 3．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A． (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长． 4．如图，在中，点分别是半径、弦的中点，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 5．如图，以的边为直径作⊙，点在⊙上，点在线段的延长线上，， （1）求证：直线是⊙的切线； （2）若直径，求图中阴影部分的面积． 6．如图，在中，，点在边上，经过点和点且与边相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 7．如图，在中，，是斜边上的中线，以为直径的分别交、于点、，过点作，垂足为． （1）若的半径为，，求的长；（2）求证：与相切． 8．如图，直线与⊙相离，于点，与⊙相交于点，.是直线上一点，连结并延长交⊙于另一点，且. （1）求证：是⊙的切线； （2）若⊙的半径为，求线段的长. 9．如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰∠ADC=∠B． （1）求证：直线CD是⊙O的的切线； （2）过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB=，BD=2，求线段AE的长． 10．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC， 将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G． （1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由； （2）若，求CD的长． 11．如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB=2，PC=4． （1）求证：PC是⊙O的切线． （2）求tan∠CAB的值． 12．如图，在直角三角形中，,点是的内心，的延长线和三角形的外接圆相交于点，连结. （1）求证：； （2）过点作的平行线交、的延长线分别于点、，已知，圆的直径为， ①求证：为圆的切线；②求的长. 13．如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC． （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG•BA=48，FG=，DF=2BF，求AH的值． 14．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点P是底边BC上一点且满足PA=PB，⊙O是△PAB的外接圆，过点P作PD∥AB交AC于点D． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若BC=8，tan∠ABC=，求⊙O的半径． 15．如图，中，，以为直径的交于点，交于点，过点作于点，交的延长线于点. （1）求证：是的切线； （2）已知，，求和的长. 16．已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC交AC于点F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若等边△ABC的边长为8，求由、DF、EF围成的阴影部分面积． 17．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且AB=BC=CD，AB∥CD，连接BD． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若AB=10，cos∠BAC=，求BD的长及⊙O的半径． 18．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证： （1）直线DC是⊙O的切线； （2）AC2=2AD•AO． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）证明见解析；（2）6． 【解析】试题分析：（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案； （2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案． 试题解析：（1）如图，连接OD、CD．∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E为BC的中点，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线； （2）设⊙O的半径为r，∵∠ODF=90°，∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，∴⊙O的直径为6． 考点