2023年中考数学二轮专项练习：角度问题（旋转综合题）

2023年中考数学二轮专项练习：角度问题（旋转综合题） 一、解答题 1．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立． (1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？ 若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．求证：BD⊥CF； (3)在（2）小题的条件下， AC与BG的交点为M， 当AB=4，AD=时，求线段CM的长． 2．如图，在中，，，D是线段延长线上一点，连接，过点A作于E． (1)求证：； (2)将射线绕点A顺时针旋转后，所得的射线与线段的延长线交于点F，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 3．理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路： 思路一 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=．tanD=tan15°===． 思路二 利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=．假设α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）===． 思路三 在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以… 思路四  … 请解决下列问题（上述思路仅供参考）． (1)类比：求出tan75°的值； (2)应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度； (3)拓展：如图3，直线与双曲线交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由． 4．取一副三角板按图①拼接，固定三角板，将三角板绕点A依顺时针方向旋转一个大小为的角得到，如图所示． 试问： (1)当为多少度时，能使得图②中； (2)当旋转至图③位置，此时又为多少度图③中你能找出哪几对相似三角形，并求其中一对的相似比； (3)连接，当时，探寻值的大小变化情况，并给出你的证明． 5．【问题背景】如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，我们可以通过把绕点逆时针旋转90°到，容易证得：． 　　 　　 (1)【迁移应用】如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，，若、都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由． (2)【联系拓展】如图3，在中，，，点、均在边BC上，且．猜想、、满足的等量关系（直接写出结论，不需要证明）． 6．如图，P是矩形ABCD下方一点，将△PCD绕点P顺时针旋转60°后，恰好点D与点A重合，得到△PEA，连接EB，问：△ABE是什么特殊三角形？请说明理由． 7．在平面直角坐标系中，△AOB为直角三角形，点O（0，0），点A（0，3），点B在轴的正半轴上，∠OAB=30°，点P为AB的中点． (1)如图①，求点P的坐标； (2)以点O为中心，顺时针旋转△AOP，得到△A1OP1，记旋转角为（），点A，P的对应点分别为A1，P1． ①如图②，线段OA1交线段AB于点M，线段OP1交线段AB于点N，当△OMN为等腰三角形时，求点A1的坐标； ②直线OA1交直线AB于点M，直线OP1交线段AB于点N，当△OMN为等腰三角形时，求的度数（直接写出结果即可）． 8．【发现奥秘】 (1)如图1，在等边三角形中，，点E是内一点，连接，分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接．当B，E，F，D四个点满足______时，的值最小，最小值为_______． 【解法探索】 (2)如图2，在中，，点P是内一点，连接，请求出当的值最小时的度数，并直接写出此时的值．（提示：分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接） 【拓展应用】 (3)在中，，点P是内一点，连接，直接写出当的值最小时，的值． 9．如图1，探照灯、汽车前灯的反光曲面都是“抛物镜面”，它是由过等腰直角三角形（）顶点的抛物线绕着对称轴旋转一周所形成的，我们将抛物线和线段所围成的封闭图形称之为“碗形”，记作“碗形”，其中抛物线部分叫“标准线”，记作“标准线”，抛物线的顶点C称为“碗顶”，直角三角形的斜边的长度称为“碗宽”，碗顶C到的距离称为“碗高”． (1)若碗形的碗宽是，则碗高是___________（直接写出结果）． (2)如图2，碗形的碗宽为4，点A与坐标原点重合，点B在x轴的正半轴上，点C在x轴下方，求标准线的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围） (3)将（2）中的碗形绕点B顺时针旋转得到碗形，旋转角为，且 ①标准线、标准线和线段