2023年中考数学高频压轴题训练——二次函数与相似三角形

2023年中考数学高频压轴题训练——二次函数与相似三角形 1．如图，抛物线与轴交于、两点，且，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为直线，为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为． （1）求点的坐标与抛物线的表达式： （2）连接，，设四边形的面积为． ①求与的关系式； ②当最大时；求点的坐标： （3）若点是对称轴上一点，当时，求的值． 2．已知抛物线经过点，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的顶点的坐标； （2）若为抛物线在第三象限上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标； （3）连接，若点的坐标为，过点的直线交线段于点，当与相似时，求点的坐标． 3．如图，抛物线y＝﹣（x﹣3m）（其中m＞0）与x轴分别交于A、B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C； （1）点B的坐标为　 　，点A的坐标为　 　（用含m的代数式表示），点C的坐标为　 　（用含m的代数式表示）； （2）若点P为直线AC上的一点，且点P在第二象限，满足OP2＝PC•PA，求tan∠APO的值及用含m的代数式表示点P的坐标； （3）在（2）的情况下，线段OP与抛物线相交于点Q，若点Q恰好为OP的中点，此时对于在抛物线上且介于点C与顶点之间（含点C与顶点）的任意一点M（x0，y0）总能使不等式n≤及不等式2n﹣≥﹣4x02+x0+恒成立，求n的取值范围． 4．如图①，在平面直角坐标系xOy中，批物线y＝x2﹣4x＋a（a＜0）与y轴交于点A，与x轴交于E、F两点（点E在点F的右侧），顶点为M．直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，与直线AM交于点D． （1）求抛物线的对称轴； （2）在y轴右侧的抛物线上存在点P，使得以P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求a的值； （3）如图②，过抛物线顶点M作MN⊥x轴于N，连接ME，点Q为抛物线上任意一点，过点Q作QG⊥x轴于G，连接QE．当a＝﹣5时，是否存在点Q，使得以Q、E、G为顶点的三角形与△MNE相似（不含全等）？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，且直线过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线于点N． （1）求抛物线的函数解析式； （2）当的面积最大时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 6．已知抛物线过点和，与x轴交于另一点B，顶点为D． （1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标； （2）如图1，E为线段上方的抛物线上一点，，垂足为F，轴，垂足为M，交于点G．当时，求的面积； （3）如图2，与的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线与轴交于，两点，点，分别位于原点的左、右两侧，，过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为，，． （1）求，的值； （2）求直线的函数解析式； （3）点在抛物线的对称轴上且在轴下方，点在射线上，当与相似时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 8．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B、C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线及x轴分别交于点D、M．，垂足为N．设． ①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值； ②当点P在直线下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使与相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图1，抛物线与轴交于、两点(点在点的左侧)，与轴交于点，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)动点在线段下方的抛物线上． ①连接、，过点作轴的垂线，垂足为，交于点．过点作，垂足为．设点的横坐标为，线段的长为，用含的代数式表示； ②过点作，垂足为，连接．是否存在点，使得中的一个角恰好等于的2倍?如果存在，求出点的横坐标；如果不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过A（﹣1，0），B两点，且与y轴交于点C（0，3），抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A，E两点． （1）求抛物线的解析式； （2）坐标轴上是否存在一点Q，使得△AQE是以AE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． （3）P点在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与△ABE相似，求点P的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴轴交于点与轴交于点过两点的抛物线，点为线段上一动点，过点作垂直轴于点