2023年中考数学二轮专项练习：二次函数压轴题（相似三角形问题）

2023年中考数学二轮专项练习：二次函数压轴题（相似三角形问题） 一、解答题 1．如图1，已知在平面直角坐标系中，点A(3,0)，B(-3,0)，C(-3,8)，以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD． （1）求证：直线OD是的切线； （2）如图2，点F为x轴上任意一动点，连接CF交于点G，连接BG； ①当tan∠ACF=时，求所有F点的坐标　 　直接写出）； ②求的最大值，以及此时CG的长． 2．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次函数的图象交于y轴上的一点B，二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2． (1)求二次函数的解析式； (2)设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标． 3．已知抛物线y=﹣x2+3x+4交y轴于点A，交x轴于点B，C（点B在点C的右侧）．过点A作垂直于y轴的直线l．在位于直线l下方的抛物线上任取一点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q．连接AP． （1）写出A，B，C三点的坐标； （2）若点P位于抛物线的对称轴的右侧： ①如果以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，求出点P的坐标； ②若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．是否存在点P，使得点M落在x轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； ③设AP的中点是R，其坐标是（m，n），请直接写出m和n的关系式，并写出m的取值范围． 4．如图，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l． （1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式； （2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求此切线长； （3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与△EAD相似时，求出BF的长． 5．抛物线y＝ax2+bx+5经过A（1，0）和B（5，0），与y轴交于点C，顶点为点D，连接BC，BD．点P是抛物线对称轴上的一个动点． （1）求a和b的值； （2）若∠CPB＝90°，求点P的坐标； （3）是否存在点P，使得以P、D、B为顶点的三角形中有两个内角的和等于∠ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 7．已知抛物线（）与x轴分别交于点A（1，0）、点B（3，0），交y轴于点C（0，）． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）如图1，连接BC，取BC中点Q，连接AQ并延长交抛物线于点D，在直线AD下方的抛物线上是否存在点P，使S△ADP=5，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，E、F是对称轴右侧第一象限抛物线上的两点，直线AE、AF分别交y轴于M、N两点，若OM·ON=，求证：直线 EF必经过一定点． 8．如图，抛物线与轴交于A（），B（4，0），过点A的直线与该抛物线交于点C，点P是该抛物线上不与A，B重合的动点，过点P作PD⊥轴于点D，交直线AC于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在直线AC的下方，且时，求点P的坐标； (3)当直线PD为时，在直线PD上是否存在点Q，使△ECQ与△EDA相似？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明你的理由． 9．已知二次函数的图象与x轴相交于A、B两点（A左B右），与y轴相交于点C，顶点为D （1）求m的取值范围； （2）当点A的坐标为，求点B的坐标； （3）当BC⊥CD时，求m的值． 10．如图，抛物线与y轴交于点C(0，-4)，与x轴交于点A、B，且B点的坐标为(2，0)． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是线段AB上的一个动点，过点P作交BC于点E，连接CP，求△PCE面积最大时P点的坐标； (3)在（2）的条件下，若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，当△OMD为等腰三角形时，连接MP、ME，把△MPE沿着PE翻折，点M的对应点为点N，直接写出点N的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段的长满足，则这样的抛物线称为“