6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1) 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

数学 第六章　计数原理 § 6.1.1分类加法与分步乘法计数原理 [数学文化]——了解数学传统文化的发展与应用 排列组合发展史 虽然数数始于结绳计数的远古时代，由于那时人的智力的发展尚处于低级阶段，谈不上有什么技巧．随着人们对于数的了解和研究，在形成与数密切相关的数学分支的过程中，如数论、代数、函数论以至泛函的形成与发展，逐步地从数的多样性发现数数的多样性，产生了各种数数的技巧．中国古代的《易经》中用十个天干和十二个地支以六十为周期来记载月和年，以六十为周期来记载月和年，以及在洛书河图中关于幻方的记载，是人们至今所了解的最早发现的组合问题．于11和12世纪间，贾宪就发现了二项式系数，杨辉将它整理记载在他的《续古抉奇法》一书中，这就是中国通常称的杨辉三角．事实上，于12世纪印度的婆什迦罗第二也发现了这种组合数.13世纪波斯的哲学家曾讲授过此类三角．而在西方，布莱士·帕斯卡发现这个三角形是在17世纪中期． 2 树状图 以上问题均为计数问题，计数问题是数学的重要研究对象之一，其相关内容是进一步学习概率的基础． 在日常生活中，关于计数的问题大量存在，如果问题中数量很少，可以一个一个的数，但是如果问题中数量很多，还能一个一个去数吗？ 核糖核酸(RNA)分子由碱基按一定顺序排列而成.已知碱基有4种，由成百上千个碱基组成的RNA分子的种数非常巨大.你知道它是怎样算出来的吗？ 汉字在计算机的机器语言中是用16位的字符表示（0或1），你如何“数出”16位字符最多可以表示多少个不同的汉字？ 计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法.但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高.能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法. 方案1 用大写英文字母编号26 例子1 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码? 完成一件事 给座位编号 方案2 用阿拉伯数字编号10 26+10=36 因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出 26+10＝36 种不同的号码. 例子2 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表. 如果这名同学只能只能选一专业，那么他共有多少种选择？ A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 方案1 A大学强项专业 5 完成一件事 挑选专业 方案2 B大学强项专业 4 5+4=9 探究 你能否发现这两个问题有什么共同特征? 例子1 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码? 例子2 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表. 1、都是要完成一件事。 2、用任何一类方法都能直接完成这件事。 3、都是采用加法运算。 上述计数过程的基本环节是： （1）确定分类标准（分类）； （2）分别计算各类的个数（计数）； （3）各类的个数相加，得出所有的个数（相加）. 我们把这种计数方法称为分类加法计数原理. 两类不同方案中的方法互不相同 上述计数过程的基本环节是： （1）确定分类标准（分类）； （2）分别计算各类的个数（计数）； （3）各类的个数相加，得出所有的个数（相加）. 一般地，如果完成一件事有两类不同方案， 在第1类方案中有m种不同的方法， 在第2类方案中有n种不同的方法， 那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法. 利用分类加法计数原理解题的一般思路. 注意：确定分类标准时要确保每一类都能独立地完成这件事. 分类加法计数原理推广 如果完成一件事有n类不同方案， 在第1类方案中有m1种不同的方法， 在第2类方案中有m2种不同的方法， ..... 在第n类方案中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有N=m1+m2+……+mn种不同的方法. 各类不同方案中的方法互不相同 2. 在例1中，如果数学也是A大学的强项专业，那么A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，应用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为6+4=10. 这种算法有什么问题？ A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 数学 解：这种算法有问题，因为问题强调的是这名同学的专业选择，故并不需要考虑学校的差异，所以这名同学可能的专业选择种数应当为 课本P5 例子3：用前6个大写的英文字母和1~9个阿拉伯数字，以A1，A2，…A9，B1，B2，…的方式给教室里的一