2023年中考数学专题训练：旋转综合题

2023年中考数学专题训练：旋转综合题 一、综合题 1．已知：如图，在矩形 中， ， ，对角线 ， 交于点 ．点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；同时，点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接 并延点也长，交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ．设运动时间为 ，解答下列问题： （1）当t=2时， 　 　； （2）当t为何值时， 是等腰三角形? （3）设五边形 的面积为 ，试确定 与 的函数关系式； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻 ，使 平分 ?若存在，直接写出 的值；若不存在，请说明理由． 2．已知正方形 ，若一个等边三角形的三个顶点均在正方形 的内部或边上，则称这个等边三角形为正方形 的内等边三角形． （1）若正方形 的边长为10，点 在边 上． ①当点 为边 的中点时，求作：正方形 的内等边 　 　（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②若 是正方形 的内等边三角形，连接 ，则线段 长的最小值是　 　，线段 长的取值范围是　 　； （2） 和 都是正方形 的内等边三角形，当边 的长最大时，画出 和 ， 点 按逆时针方向排序，连接 ．找出图中与线段 相等的所有线段（不添加字母），并给予证明． 3．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P从点A出发，沿折线AC﹣CB向终点B运动，点P在AC上的速度为每秒2个单位长度，在CB上的速度为每秒1个单位长度，同时，点Q从点A出发，沿AC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点Q到达终点时，点P也随之停止．过点P作PM⊥AD于点M，连接QM，以PM、QM为邻边作▱PMQN，设▱PMQN与矩形ABCD重叠部分图形的周长为d（长度单位），点P的运动时间为t（秒）（t＞0） （1）求AC的长 （2）用含t的代数式表示线段CP的长． （3）当点P在线段AC上时，求d与t之间的函数关系式． （4）经过点N的直线将矩形ABCD的面积平分，若该直线同时将▱PMQN的面积分成1：3的两部分，直接写出此时t的值． 4．如图1，点 为直线 上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点 处，直角边 ， 分别在射线 ， 上，且 ， ． 图1 图2 图3 （1）将图1中的三角板 绕点 按逆时针方向旋转至图2的位置，使得 落在射线 上，此时三角板 旋转的角度为　 　度； （2）继续将图2中的三角板 绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得 在 的内部，若 ，则 的度数为　 　度； （3）在上述直角三角板 从图l旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点 按每秒5°的速度旋转，当直角三角板 的斜边 所在的直线恰好平分 时，求此时三角板 绕点 的运动时间的值． 5．在平面直角坐标系中，点 是原点，四边形 是矩形，点 ，点 .以点 为中心，顺时针旋转矩形 ，得到矩形 ，点 的对应点分别为 . （1）如图①，当点 落在 边上时，求点 的坐标； （2）如图②，当点 落在线段 上时， 与 交于点 .求点 的坐标； （3）记 为矩形 对角线的交点， 为 的面积，求 的取值范围（直接写出结果即可）. 6．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等.例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4.设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α. （1）如图①，若 ＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由. （2）如图②，若90°＜ ＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝ .探索 与 的数量关系，并说明理由. （3）如图③，若 ＝120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ(90°＜γ＜180°)，入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m(0°＜m＜90°).已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n(n为正整数，且n≤3)次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数.（可用含有m的代数式表示） 7． （1）【思维启迪】 如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD