2023年中考数学高频考点突破--二次函数（综合题）

2023年中考数学高频考点突破--二次函数（综合题） 一、综合题 1．如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，∠OMA=60°，过点B的切线交x轴负半轴于点C，抛物线过点A、B、C． （1）求点A、B的坐标； （2）求抛物线的函数关系式； （3）若点D为抛物线对称轴上的一个动点，问是否存在这样的点D，使得△BCD是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知抛物线 （ 为常数， ）经过点 ，点 是 轴正半轴上的动点． （1）当 时，求抛物线的顶点坐标； （2）点 在抛物线上，当 ， 时，求 的值； （3）点 在抛物线上，当 的最小值为 时，求 的值． 3．在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+4x+4a（0＜a＜2） （1）当C1与x轴有唯一一个交点时，求此时C1的解析式； （2）如图①，若A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）三点均在C1上，连BC作AE∥BC交抛物线C1于E，求点E到y轴的距离； （3）若a=1，将抛物线C1先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到抛物线C2，如图②，抛物线C2与x轴相交于点M、N（M点在N点的左边），抛物线的对称轴交x轴于点F，过点F的直线l与抛物线C2相交于P，Q（P在第四象限）且S△FMQ=2S△FNP，求直线l的解析式． 4．如图1，图形ABCD是由两个二次函数 与 的部分图像围成的封闭图形，已知A(1，0)、B(0，1)、D(0，﹣3)． （1）直接写出这两个二次函数的表达式； （2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由； （3）如图2，连接BC、CD、AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标． 5．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点，分别连接AC、CD、AD． （1）求抛物线的函数表达式以及顶点D的坐标； （2）在抛物线上取一点P（不与点C重合），并分别连接PA、PD，当△PAD的面积与△ACD的面积相等时，求点P的坐标； （3）将（1）中所求得的抛物线沿A、D所在的直线平移，平移后点A的对应点为A′，点C的对应点为C′，点D的对应点为D′，当四边形AA′C′C是菱形时，求此时平移后的抛物线的解析式． 6．如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(2，0)，B(-6，0)两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在坐标平面内是否存在一点P，使得Q、B、A、P围成的图形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．已知抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0），C（2，）三点，其对称轴交x轴于点H，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点C，与抛物线交于另一点D（点D在点C的左边），与抛物线的对称轴交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当S△EOC=S△EAB时，求一次函数的解析式； （3）如图2，设∠CEH=α，∠EAH=β，当α＞β时，直接写出k的取值范围． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过坐标原点和点 ，顶点为点 ． （1）求抛物线的关系式及点 的坐标； （2）点 是直线 下方的抛物线上一动点，连接 ， ，当 的面积等于 时，求 点的坐标； （3）将直线 向下平移，得到过点 的直线 ，且与 轴负半轴交于点 ，取点 ，连接 ，求证： ． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2，点A的坐标为（1，0）． （1）求该抛物线的表达式及顶点坐标； （2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），联结PC．当∠PCB=∠ACB时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于 轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P关于x轴的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离． 10．已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b. （1）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）； （2）说明直线与抛物线有两个交点； （3）直线与抛物线的另一个交点记为N. （Ⅰ）若-1≤a≤，求线段MN长度的取值范围； （Ⅱ）求△QMN面积的最