2023届吉林省延边州高三统考二模数学试题

延边州2023年高三教学质量检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（ ） A. B. 0 C. 或0 D. 无解 2. 己知复数满足，给出下列四个命题其中正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 3. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 某市在文明城市建设中，鼓励市民“读书好，好读书，读好书”．在各阅览室设立茶座，让人们在休闲中阅读有用有益图书．某阅览室为了提高阅读率，对于周末前来阅读的前三名阅读者各赠送一本图书，阅读者从四种不同的书籍中随意挑选一本，则他们有且仅有2名阅读者挑选同一种书的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设其初始质量为，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为，若锶89的质量从衰减至，，所经过的时间分别为，，，则（ ）． A. B. C. D. 6. 经过向圆作切线，切线方程为（ ） A. B. C. 或 D 或 7. 正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是6，，分别为，的中点，若是侧面上一点，且平面，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在R上的函数满足，为偶函数，若在内单调递增.记，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分． 9. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的定义域为，且，，则下列结论中正确的有（ ） A. 为增函数 B. 为增函数 C. 的解集为 D. 的解集为 11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆交轴于、两点，设线段的中点为，则（ ） A. B. 若，则直线的斜率为 C. 若抛物线上存在一点到焦点的距离等于，则抛物线的方程为 D. 若点到抛物线准线距离为，则的最小值为 12. 如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，，G为线段AE上的动点，则（ ） A. 若G为线段AE的中点，则平面CEF B. C. 的最小值为48 D. 点B到平面CEF的距离为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 在的展开式中，含的项的系数是______． 14. 设，，若，则取最小值时a的值为______． 15. 若函数在处有极小值，则的值为______． 16. 己知坐标平面xOy中，点，分别为双曲线的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上，与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为的中点，点I为的外心，若O、I、D三点共线，则双曲线C的离心率为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求B； （2）在下面两个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度． ①的周长为；②面积为． 18. 已知等差数列中，公差，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围． 19. 如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2. （1）求证：. （2）求直线和平面所成角的正弦值. （3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 20. 我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．该企业为了了解研发资金的投入额x（单位：百万元）对年收入的附加额y（单位：百万元）的影响，对往年研发资金投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下： 投入额 2 3 4 5 6 8 9 11 年收入的附加额 3.6 4.1 4.8 5.4 62 7.5 7.9 9.1 （1）求年收入的附加额y与投入额x的经验回归方程； （2）若年收入的附加额与投入额的比值大于1，则称对应的投入额为“优秀投资额”，现从上面8个投入额中任意取3个，用X表示这3个投入额为“优秀投资额”的个数，求X的分布列及数学期望． 【参考数据】，，． 【附】经验回归方程中，，． 21. 知椭圆E：的左右焦点分别为，，过且斜率为的直线