2023年中考模考数学复习——相似三角形综合

2023年中考模考数学复习——相似三角形综合 1．（2022•富阳区一模）如图1，已知，，，，点是射线上的一个动点，连接，点是线段的中点，连接，过点作，交的延长线于点．设，． （1）求关于的函数关系式； （2）如图2，为的中点，连接，若与相似，求的长； （3）若为等腰三角形，请直接写出的正切值． 2．（2023•金山区一模）已知平行四边形中，，，，点是对角线上一动点，作，射线交射线于点，联结． （1）如图1，当点与点重合时，证明：； （2）如图2，点在的延长线上，当时，求的长； （3）当是以为底的等腰三角形时，求的长． 3．（2022•汉阳区校级模拟）如图，在矩形中，点为上一点，过点作于点，连接交于点，点恰好为的中点． （1）求证：； （2）如图1，若，求的值； （3）如图2，在（2）的条件下，点、分别为、上的动点，若，请直接写出的最小值． 4．（2022春•昆山市校级期末）如图1，在矩形中，，，，，将绕点从处开始顺时针方向旋转，交边于点，交边于点，当旋转至处时，的旋转随即停止． （1）如图2，在旋转中发现当经过点时，也经过点，求证：； （2）如图3，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； （3）设，连接，则在旋转过程中，当为何值时，与相似． 5．（2022•南海区校级一模）如图，已知正方形的边长为6，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为斜边作等腰． （1）若，则　　． （2）在点从点到点的运动过程中，的外接圈的圆心也随之运动，求该圆心到边的距离的最大值． （3）连结、．当时，求长度． 6．（2022•甘井子区校级模拟）如图，在中，，点在上，且，，点、同时从点出发，以相同的速度分别沿射线、射线运动．过点作的垂线段，使，连接，当点到达点时，点、同时停止运动、设，与重叠部分的面积为，当时，点恰好在边上． （1）填空：点恰好经过边时，的值为 　　； （2）求关于的函数关系式，并写出的取值范围． 7．（2023•金华模拟）如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，直线经过点、．将四边形绕点按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线相交于点、． （1）四边形的形状是 　　，当时，的值是 　　； （2）①如图2，当四边形’ ’ ’的顶点落在轴正半轴上时，求的值； ②如图3，当四边形’ ’ ’的顶点落在直线上时，求的面积； （3）在四边形旋转过程中，当时，是否存在这样的点和点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2022•罗庄区二模）【基础巩固】 （1）如图1，在中，为上一点，．求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，为上一点，为延长线上一点，．若，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形中，是上一点，是内一点，，，，，，则菱形的边长为　　． 9．（2021•东西湖区模拟）（1）如图1，，垂足为，，垂足为，与相交于点，连接．你能在图中找出一对相似三角形，并说明相似的理由吗？ （2）如图2，在中，，，，垂足为，为上一点，于，交于．求证：； （3）如图3，在中，，为上一点，连接，，，，请直接写出的长． 10．（2021•襄州区模拟）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）如图2，将正方形绕点按逆时针方向旋转，则与的数量关系为　　，位置关系为　　（直接写出答案） （2）如图3，把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，，将矩形绕点按顺时针方向旋转，求与的数量关系和位置关系； （3）在（2）的条件下，小组发现：在旋转过程中，的值是定值，请求出这个定值．（直接写出答案） 11．（2021•鄞州区模拟）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形． （1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是 　　； （2）如图1，在正方形中，点，，分别在，，上，四边形是垂等四边形，且，． ①求证：； ②若，求的值； （3）如图2，在中，，，以为对角线，作垂等四边形．过点作的延长线的垂线，垂足为，且与相似，求四边形的面积． 12．（2022•资阳）如图，平行四边形中，，，边上的高，点为边上的动点（不与、重合，过点作直线的垂线，垂足为，连接、． （1）求证：； （2）当点为的中点时，求的长； （3）设，的面积为，求与之间的函数关系式，并求当为何值时，有最大值，最大值是多少？ 答案版： 1． 【解答】解：（1）如图1，延长交于点， ， ， 点是线段的中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图2，过点作于点， 则， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， ，