专题06梯形存在性问题-2023年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练 （上海地区专用）

专题06梯形存在性问题 目录 最新模考题热点题型归纳 【题型一】 以圆为背景的梯形存在性 【题型二】 以二次函数为背景的梯形存在性 【题型三】 圆和梯形有关综合题 【题型一】 以圆为背景的梯形存在性 【典例分析】 （2022•杨浦区二模）已知在扇形AOB中，点C、D是上的两点，且． （1）如图1，当OD⊥OA时，求弦CD的长； （2）如图2，联结AD，交半径OC于点E，当OD∥AC时，求的值； （3）当四边形BOCD是梯形时，试判断线段AC能否成为⊙O内接正多边形的边？如果能，请求出这个正多边形的边数；如果不能，请说明理由． 【提分秘籍】 圆中的分类讨论问题(梯形存在性及点的位置) 以圆为背景的分类讨论问题主要涵盖三角形的存在性(等腰、直角、相似三角形的存在性)、点在线段或其延长线上或梯形的存在性等。本节主要围绕梯形的存在性以及点在线段及其延长线上的情况进行分类讨论。 梯形的存在性问题，往往就是2类的分类讨论，即两种平行的情况，通过计算后，要排除平行四边形的可能，即一边平行但长度不等。问题的解决往往围绕着X型基本图形，构建比例关系或解三角形进行展开 【变式演练】 1.【2021奉贤二模】如图，已知扇形AOB的半径OA＝4，∠AOB＝90°，点C、D分别在半径OA、OB上（点C不与点A重合），联结CD．点P是弧AB上一点，PC＝PD． （1）当cot∠ODC＝，以CD为半径的圆D与圆O相切时，求CD的长； （2）当点D与点B重合，点P为弧AB的中点时，求∠OCD的度数； （3）如果OC＝2，且四边形ODPC是梯形，求的值． 【题型二】 以二次函数为背景的梯形存在性 【典例分析】 （2023杨浦区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0）、B（3，0）．C（2，3）三点，且与y轴交于点D． （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴； （2）分别联结AD、DC，CB，直线y＝4x+m与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD的面积平分时，求m的值； （3）设点F为该抛物线对称轴上的一点，当以点A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标． 【提分秘籍】 梯形是相对限制较少的一类四边形，要使得一个四边形是梯形，只需要有其中一组对边平行，另一组对边不平行即可。所以，在此类问题中，要么对点有较高的限制 (在某一直线上)，要么对梯形形状有较高要求(等腰或直角)。综合利用各个条件，才能求出最后的结果 【变式演练】 1.（2023青浦区一模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A． （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标； （2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”． ①试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标； ②向左或向右平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式． 2.【2021年青浦二模】（12分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D． （1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO+∠PEO）＝时，求OE的长． 【题型三】 圆和梯形有关综合题 【典例分析】 （2022•嘉定区二模）在梯形ABCD中，已知DC∥AB，∠DAB＝90°，DC＝3，DA＝6，AB＝9，点E在射线AB上，过点E作EF∥AD，交射线DC于点F，设AE＝x． （1）当x＝1时，直线EF与AC交于点G，如图1，求GE的长； （2）当x＞3时，直线EF与射线CB交于点H． ①当3＜x＜9时，动点M（与点A、D不重合）在边AD上运动，且AM＝BE，联结MH交AC于点N如图2，随着动点M的运动，试问CH：HN的值有没有变化，如果有变化，请说明你的理由；如果没有变化，请你求出CH：HN的值； ②联结AH，如果∠HAE＝∠CAD，求x的值． 【变式演练】 1．（2022•黄浦区二模）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝6，BC：AD＝1：3，O是AC的中点，过点O作OE⊥OB，交BC的延长线于点E． （1）当BC＝EC时，求证：AB＝OE； （2）设BC＝a，用含a的代数式表示线段BE的长，并写出a的取值范围； （3）联结OD、DE，当△DOE是以DE为直角边的直角三角形时，求BC的长． 2．（2022•闵行区二模）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝