2023年中考数学专题训练：猜想与证明压轴题

2023年中考数学专题训练：猜想与证明压轴题 1．如图，在等边中，点D，E分别是上的动点，且，交于点P． (1)如图1，求证：； (2)点M是边的中点，连接． ①如图2，若点A，P，M三点共线，则与的数量关系是___________． ②若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由． 2．在中，的平分线交边于点D． (1)如图1，求证：为等腰三角形； (2)如图2，若的平分线交边于点E，在上截取，连接，求证：； (3)如图3，若外角的平分线交延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出正确的结论，并说明理由． 3．以四边形的边，为边分别向外侧作等边和等边，连接，，交点为G． (1)当四边形为正方形时（如图1），直接说出和有什么数量关系． (2)当四边形为矩形时（如图2），和具有怎样的数量关系？请加以证明； (3)四边形由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出的度数． 4．如图，中，，，若点E为射线上一动点，连接AE，将线段AE绕着点A逆时针旋转得到AF． (1)如图1，当点E在线段CB上运动时； ①若，则_______ (直接写出答案)； ②过F点作交AC于点，求证：； (2)当E点在射线CB上，（如图2）连接BF与直线AC交于G点，若，求的值． 5．【问题情境】 (1)同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，如图所示，则和的数量关系为______，位置关系为______． 【继续探究】 (2)若正方形的边长为，点是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接、，如图所示， ①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点作，如图，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程． 【拓展提升】 (3)在（2）的条件下，点在边上运动时，利用图，则的最小值为______． 6．如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE． (1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明； (2)延长ED交直线BC于点F． ①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______； ②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由． 7．问题情境：一次数学课上，老师出示了课本中的一道复习题：如图，和都是等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且．连接CF、EF． (1)试判断AD与CF的数量关系，并说明理由； (2)求证：四边形CDEF是平行四边形． (3)如图2，四边形ABCD和四边形DEGH都是正方形，F、H分别是AD、AB上的点，且，连接CF、EF，试判断四边形CDEF的形状，并说明理由； 拓展延伸： (4)如图3，四边形ABCD和四边形DEGH都是菱形，，，F是AD上一点，连接CF、EF延长H交DC于M，若四边形CDEF是平行四边形，请直接写出AM的长． 8．如图1，在矩形中，，，点为边上一动点，连接，作点关于直线的对称点，连接，，，，与交于点． (1)若DE=2，求证：AE//CF． (2)如图2，连接AC，BD，若点F在矩形ABCD的对角线上，求所有满足条件的DE的长． (3)如图3，连接BF，当点F到矩形ABCD一个顶点的距离等于2时，请直接写出△BCF的面积． 9．正方形ABCD的边长为4，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF． (1)如图1，当点E与点A重合时，______； (2)如图2，当点E在线段AD上时，． ①求点F到AD的距离；        ②求BF的长； (3)若，请直接写出此时AE的长． 10．在学习完“图形的旋转”后，某数学兴趣小组做了如下探究ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合．将DEF绕点E作逆时针旋转，该过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CM相交于点Q． (1)问题提出：如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，BPE和CQE是否全等．如果全等，写出证明过程；若不赞同，请说明理由． (2)问题解决：如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，BPE和CQE是否有存在与第（1）问相同的关系，如果相同写出证明过程；如果不同，请说明它们的关系．当BP＝a，CQa时，求P，Q两点间的距离（用含a的代数式表示）． 11．如图，在等腰直角三角形ABC和ADE中，AC＝AB