2.3 一元二次方程根的判别式 课件 2022-2023学年湘教版九年级数学上册

2.3 一元二次方程根的判别式 湘教版 九年级上 教学目标 1. 掌握一元二次方程根的判别式. 2. 能用根的判别式判别一元二次方程的根的情况. 3. 能根据根的情况确定一元二次方程中的字母系数. 复习导入 解下列方程，想想一元二次方程的根有哪几种情况? (1)x²+4x-21=0； (2)x²-6x+9=0； (3)x²-3x+5=0. 一元二次方程的根有3种情况：方程有两个不相等的实数根，如方程(1)；方程有两个相等的实数根，如方程(2)；方程没有实数根，如方程(3)。 新知讲解 我们在运用公式法求解一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)时，总是要求b²-4ac≥0.这是为什么？ 将方程ax²+bx+c=0(a≠0)配方后得到 新知讲解 由于a≠0 ，所以4a²＞0，因此我们不难发现： (1)当b²-4ac＞0时， 由于正数有两个平方根，所以原方程的根为 此时，原方程有两个不相等的实数根. 新知讲解 (2)当b²-4ac=0时， 由于0的平方根是0，所以原方程的根为 此时，原方程有两个相等的实数根. 新知讲解 (3)当b²-4ac＜0时， 由于负数在实数范围内没有平方根是0，所以原方程没有实数根. 新知讲解 因此，若方程要有实数根，则b²-4ac必须为非负数. 说明：关于b²-4ac＜0时方程根的情况，我们将在高中阶段学习. 新知讲解 我们把b²-4ac叫作一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，记作“∆”，即∆=b²-4ac. 综上可知，我们不难发现一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由∆=b²-4ac来判断： 新知讲解 当∆＞0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为 当∆＞0时，原方程有两个相等的实数根，其根为 当∆＜0时，原方程没有实数根. 例题讲解 例 不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况： (1)3x²+4x-3=0； (2)4x²=12x-9； (3)7y=5(y²+1). 解 (1)因为∆=b²-4ac=4²-4×3×(-3) =16+36=52＞0， 所以，原方程有两个不相等的实数根. 新知讲解 (2)4x²=12x-9. 将原方程化为一般形式，得 4x²-12x+9=0. 因为 ∆=b²-4ac=(-12)²-4×4×9 =144-144=0， 所以，原方程有两个相等的实数根. 要先将方程化成一般形式，才能确定a，b，c的值. 新知讲解 (3)7y=5(y²+1). 将原方程化为一般形式，得 5y²-7y+5=0. 因为 ∆=b²-4ac=(-7)²-4×5×5=49-100=-51＜0， 所以，原方程没有实数根. 巩固练习 1. 下列方程中没有实数根的是（ ） A. x²+8x-1=0 B. 4x²-3x+2=0 C. y²-8y+16=0 D. 5x²-7x-13=0 B 解析 四个方程的右边均为0，二次项系数均为正数，其中A，D中常数项为负数，则Δ＞0，它们有两个不相等的实数根；C的左边是完全平方式，则Δ=0，方程有两个相等的实数根；B中Δ＜0，因此没有实数根，故选B. 2. 若关于x的方程x²+kx+2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. k＜-2 B. k＞2 C. -2＜k＜2 D. k＜-2，或k＞2 D 巩固练习 3. 若关于x的方程kx²+4x+2=0有实数根，则k的取值不可以是（ ） A. -8 B. 2 C. 0 D. 4 D 解析 因为方程kx²+4x+2=0有实数根，所以，Δ=16-8k≥0,解得k≤2，D符合题意，故选D. 巩固练习 课堂总结 一元二次方程根的判别式是什么？如何判定一元二次方程的根？ 判别式：Δ=b²-4ac. 当Δ=b²-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ=b²-4ac=0时