2023年中考数学专题训练：几何探究压轴题

2023年中考数学专题训练：几何探究压轴题 1．如图①，在菱形中，点P为射线上的一点，连接，过点P作，使得，与射线交于点M，以，为邻边作平行四边形． (1)求证：四边形为菱形； (2)如图②，，连接，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，当点P在的延长线上时，如图③，， ，求的长度． 2．【基础巩固】（1）如图1，在中，D，E，F分别为上的点，，，交于点G.求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连结.若，，，求的值； 【拓展提高】（3）如图3，在中，，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F，若，平分，，请直接写出的长． 3．如图1，已知正方形中，为对角线，边长为3，为边上一点，过点作于点，． (1)如图1，连结，求线段的长． (2)保持不动，将正方形绕点旋转至如图2的位置，连结，点为的中点，连接、，探求与关系，并证明你的结论； (3)保持不动，将正方形绕点旋转一周，求出的中点在这个过程中的运动路径长及的最小值． 4．【问题提出】 （1）如图①，为的平分线，于点，于点，若，则______． 【问题探究】 （2）如图②，、是两条平行的直线，且、之间的距离为12，点为直线上一点，点、为直线上两点，且点在点的左侧，若，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图③，四边形是园林规划局欲修建的一块平行四边形园林的大致示意图，沿对角线修一条人行走道，沿的平分线（点在上）修一条园林灌溉水渠．根据规划要求，，米，且使得平行四边形的面积尽可能小，问平行四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值，若不存在，请说明理由． 5．在和中，，，如图（1），以为边作平行四边形，以为边作平行四边形，点F，G分别是的中点，当绕点C旋转时， (1)证明：； (2)①求的面积（用含a，b的代数式表示）； ②直接写出的长度的最大值为（用含a，b的代数式表示）． 6．如图，在边长为6的正方形中，点P是边上一动点，连接，将沿翻折，点A的对应点为点E，连接． (1)如图1，当时，直接写出的度数为___________； (2)如图2，过点E作，当时， ①求的长；           ②求证：； (3)如图3，点M是边上一动点，当时，求的最小值． 7．如图1，在与中，，，交于点，，点在线段上，连接． (1)若，求线段的长； (2)如图2，若，点为线段的中点，连接，证明：； (3)如图3，在（2）的条件下，将绕点旋转得，连接，点为线段的中点，连接，当长度取最小时，在线段上有一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转60°至，连接，若，请直接写出的最小值． 8．正方形 ，点E为平面内一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到 ，连接，．已知点M为的中点，连接． (1)如图1，①若点E为边边上一点，补全图形； ②判断并证明线段和的数量关系． (2)如图2，若点E是的内部一点，（1）中线段和的数量关系是否仍然成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 9．【操作一】如图①，将矩形沿过点D的直线折叠，使点A的对称点F落在边上，折痕为DE．则的大小为 度． 【操作二】如图①，在操作一的基础上，将矩形沿过点C的直线折叠，点B的对称点H落在边上，折痕为．求证：． 【应用】如图②，延长图①中的交边于点M．若，则EH的长为 ，点M到边的距离为 ． 【拓展】如图③，点N为【操作二】图①中的边DE上的点，连结、．若，，则的最小值为 ． 10．如图，和的顶点重合，，，，． (1)如图1，当点，分别在，上时，得出结论： ；直线与直线的位置关系是 ； (2)如图2，将图1中的绕点顺时针旋转一周的过程中，连接，，其所在直线相交于点． ①（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，说明理由． ②当的长度最大时，求线段的长度． 11．如图，为的角平分线． (1)如图，若于点，交于点，，则______． (2)如图，若，点在上，且，，，求的长；用含、的式子表示 (3)如图，，点在的延长线上，连接，若的面积是，求的面积． 12．在中，，，过点A作的垂线，垂足为D，E为射线上一动点（不与点C重合），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接，与直线交于点G． (1)如图1，当点E在线段上时， ①依题意补全图形； ②求证：点G为的中点． (2)如图2，当点E在线段的延长线上时，用等式表示之间的数量关系，并证明． 13．在中，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①； ②． (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 14．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美