2.5一元二次方程的应用（2）教案2022-2023学年湘教版九年级数学 上册

2.5一元二次方程的应用(2)教案 主备人： 审核人： 课 题 一元二次方程应用(2) 章节 2.5 学科 数学 年级 九 教材分析 这节课教学运用一元二次方程模型解决几何图形中的有关问题，体会根据几何图形的性质和公式，建立一元二次方程模型解决图形中有关线段或与线段有关（如运动时间）的问题的方法. 核心素养分析 本节课核心素养包括：①运用一元二次方程解决几何图形的面积问题；②运用一元二次方程解决动点问题；③掌握运用一元二次方程解决几何图形问题的方法：设好未知数并用未知数表示相关线段，根据图形的性质和公式（如面积公式）列出一元二次方程；④结合图形性质确定实际问题的正确答案. 教学目标 1. 能运用一元二次方程解决与面积相关的问题. 2. 能运用一元二次方程解决动点问题. 3. 提高学生综合分析问题、运用方程解决问题的能力. 4. 体验借助一元二次方程实现数形结合的应用价值. 教学重点 1. 运用一元二次方程解决与面积相关的问题. 2. 运用一元二次方程解决动点问题. 教学难点 1. 分析实际问题中所涉及的等量关系，列出适当的二元一次方程； 2. 掌握列一元二次方程解决几何图形的技巧，注意根据实际确定答案. 教 学 活 动 一、复习铺垫 （一）说一说： 1、 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？这些步骤中，应注意些什么？ 2、 利用一元二次方程求变化率问题、利用一元二次方程解决利润问题的过程中，所涉及的等量关系分别有哪些？ （二）导入：如何利用一元二次方程解决几何图形中的问题呢？ 二、教学新知 探究问题：如图，在一长为40m、宽为28m的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后，折成一个无盖的长方体盒子. 若已知长方体盒子的底面积为364cm²，求截去的四个小正方形的边长. 1、 分析：将铁皮截去四个小正方形后，可以得到右图.这个长方形盒子的底面积就是右图中的阴影部分，因此本问题涉及的等量关系是： 盒子的底面积=盒子的底面长×盒子的底面宽. 2、 设未知数，列方程： 设截去的小正方形的边长为xcm，则无盖长方体盒子的底面长与宽分别为(40-2x) cm， (28-2x)cm，根据等量关系，可以列出方程 (40-2x)(28-2x)=364. 即 2(20-x)·2(14-x)=364. 3、 解方程： 程两边都除以4，得 (20-x)·(14-x)=91. 去括号并整理，得 x²-34x+189=0. 解得 x₁=27，x₂=7. 4、 检验，写出实际问题的答案. 如果截去的小正方形的边长为27cm，那么左上角和右上角的两个小正方形的边长之和为54cm，这超过了矩形铁皮的长度(40cm).因此x1=27不合题意，应当舍去. 因此，截去的小正方形的边长为7cm. 说明：通过本问题的教学，学生能够体会到列一元二次方程解决几何图形问题的一般方法：设恰当的未知数，并用这个未知数表示相关的线段，再根据图形的性质和计算公式列出方程，最后几何图形确定答案. 三、讲解例题 例3 如图，一长为32m、宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分进行了绿化.若已知绿化面积为540m²，求道路的宽. 分析 虽然“整个矩形的面积－道路所占面积=绿化面 积”，但道路不是规则图形，因此不便于计算！若把道路 平移到矩形的边缘，则此时绿化部分就成了一个新的矩形 了(如图所示)，再由本题涉及到的等量关系： 矩形的面积=矩形的长×矩形的宽，就可建立一个一元二次方程. 解 设道路宽为xm，则新矩形的长为(32-x)m，宽为(20-x)m. 根据等量关系得方程 (32-x)(20-x)=540. 整理，得 x²-52x+100=0. 解得 x₁=2，x₂=50(不合题意，舍去). 答：道路宽为2m. 说一说 为什么x=50不合题意？ 生：因为道路宽不可能超过矩形的长，不可能超过矩形的宽. 讨论：如何运用一元二次方程解决面积问题？ Ppt：运用一元二次方程解决面积问题的方法： ①根据问题设一条线段的长(如设为x)； ②用含x的代数式表示底和高(或长和宽等)； ③根据图形，选择面积公式列出一元一次方程； ④解一元二次方程，并根据图形确定实际问题的解. 例4 如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB