2023年中考数学一轮复习--二次函数（最值问题）

2023年中考数学一轮复习--二次函数（最值问题） 1．（问题情境） 已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？ （数学模型） 设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y=2（ ）（x＞0） （探索研究） 我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y= （x＞0）的图象和性质． （1）①填写下表，画出函数的图象； ②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质； ③在求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数y= （x＞0）的最小值． 2．小明在妈妈的帮助下，利用社区提供的免费摊点卖玩具，已知小明所有玩具的进价均2元/个．在销售过程中发现：每天玩具销售量 （件）与销售价格 （元/件）的关系如图所示，其中 段为反比例函数图象的一部分， 段为一次函数图象的一部分，设小明销售这种玩具的日利润为 元． （1）根据图象，求出 与 之间的函数关系式； （2）求销售这种玩具的日利润 （元）与 （元/件）之间的函数关系式，并求每天利润的最大值． 3．如图，抛物线l1：y=x2﹣4的图象与x轴交于A，C两点，抛物线l2与l1关于x轴对称． （1）直接写出l2所对应的函数表达式； （2）若点B是抛物线l2上的动点（B与A，C不重合），以AC为对角线，A，B，C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点为D，求证：D点在l2上． （3）当点B位于l1在x轴下方的图象上，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它面积的最值；若不存在，请说明理由． 4．若抛物线 与直线 交 轴于同一点，且抛物线的顶点在直线 上，称该抛物线与直线互为“伙伴函数”，直线的伙伴函数表达式不唯一. （1）求抛物线 的“伙伴函数”表达式； （2）若直线 与抛物线 互为“伙伴函数”，求m与c的值； （3）设互为“伙伴函数”的抛物线顶点坐标为 且 ，它的一个“伙伴函数”表达式为 ，求该抛物线表达式，并确定在 范围内该函数的最大值. 5．如图，抛物线 （ 为常数）与 轴和 轴的正半轴分别交于点 和 ，直线 ， 交 轴于点 ，交 于点 ， （ 在 的左侧）． （1）当 时， ①直接写出抛物线 的对称轴和顶点坐标，并求 的长； ②当 时，求 的最大值和最小值的差． （2）是否存在 ，使 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由； （3）当 时，抛物线 的最高点到 的距离为1，请直接写出此时 的值． 6．已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B(点A在点B左侧)，根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”。 （1）①如图2,求出抛物线y=x2的“完美三角形”斜边AB的长；　 　 ②请写出一个抛物线的解析式，使它的完美三角形与y=x2+1的“完美三角形”全等　 　； （2）若抛物线y=ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值； （3）若抛物线y=mx2+2x+n−5的“完美三角形”斜边长为n,且y=mx2+2x+n−5的最大值为−1，求m，n的值。 7．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣ ），与x轴交于A、B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和 的值． （3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时， FC+BF的值最小．并求出这个最小值． 8．若二次函数 与 均有最最小值，记 ， 的最小值分别为m，n. （1）若 ， ，