2023年中考数学一轮复习（基础篇）：圆的综合题

2023年中考数学一轮复习（基础篇）：圆的综合题 1．已知点P（x0，y0）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d= 计算． 例如：求点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离． 解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7． 所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为：d= = = = ． 根据以上材料，解答下列问题： （1）求点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离； （2）已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y= x+9的位置关系并说明理由； （3）已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离． 2．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连结BG。 （1）求证：△ABG∽△AFC； （2）已知AB= ，AC=AF= ，求线段FG的长（用含 ， 的代数式表示）； （3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD=∠CBE，求证： 。 3．如图，在R△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点．经过点A，D两点的⊙O分別交AB，AC于点F、E， （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）已知AD＝2 ，试求AB•AE的值； （3）在（2）的条件下，若∠B＝30°，求图中阴影部分的面积，（结果保留π和根号） 4．如图1，已知⊙O是ΔADB的外接圆，∠ADB的平分线DC交AB于点M，交⊙O于点C，连接AC，BC. （1）求证：AC=BC； （2）如图2，在图1 的基础上做⊙O的直径CF交AB于点E，连接AF，过点A作⊙O的切线AH，若AH//BC，求∠ACF的度数； （3）在（2）的条件下，若ΔABD的面积为 ，ΔABD与ΔABC的面积比为2：9，求CD的长. 5．如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C. （1）用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法) （2）设△ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保留根号) （3）若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值. 6．如图，△ACB内接于圆O，AB为直径，CD⊥AB与点D，E为圆外一点，EO⊥AB，与BC交于点G，与圆O交于点F，连接EC，且EG=EC. （1）求证：EC是圆O的切线； （2）当∠ABC=22.5°时，连接CF. ①求证：AC=CF； ②若AD=1，求线段FG的长. 7．定义：有两边之比为的三角形叫做智慧三角形． （1）如图1，在智慧三角形中，为边上的中线，求的值； （2）如图2，是的内接三角形，为直径，过的中点作，交线段于点，交于点，连结交于点． ①求证：是智慧三角形； ②如图3，在（2）的条件下，当时，则＝▲ ．（直接写出结果） 8．如图 （1）知识储备 ①如图1，已知点P为等边三角形ABC外接圆的 上任意一点．求证：PB+PC=PA； ②定义：在 ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，则称点P为 ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为 ABC的费马距离． （2）知识迁移 ①我们有如下探寻 ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法： 如图2，在 ABC的外部以BC为边长作等边三角形BCD及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段的长度即为 ABC的费马距离； ②在图3中，作出 ABC(∠A=120°)的费马点P（要求尺规作图），若AB=AC=1，求出费马距离． （3）知识应用 如图4，在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，其费马距离为 ，求AB的长． 9．如图，AB为⊙O的直径，且AB=4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM． （1）求∠OMP的度数； （2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长． 10．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记为d(M，N)，特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M，N)＝0．已知：如图，点A(，0)，B(0，)． （1）如果⊙O的半径为2，那么d(A，⊙O)＝　 　，d(B，⊙O)＝　 　． （2）如果⊙O的半径为r，且d（⊙O，线段AB）=0，求r的取值范围； （3）如果C(m，0)是x轴上的动点，⊙C的半径为1，使d（⊙C，线段AB）<1，直接写出m的取值范围． 11．如图，⊙O是△ABC