2023年中考数学高频压轴题训练——二次函数与相似三角形

2023年中考数学高频压轴题训练——二次函数与相似三角形 1.如图,抛物线与x轴交于、两点,与y轴交于点C,设抛物线的顶点为D. (1)求该抛物线的表达式与顶点D的坐标; (2)试判断的形状,并说明理由; (3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 2.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C(0,﹣3),顶点坐标为(1,﹣4). (1)求抛物线的解析式; (2)如图1,抛物线在第四象限的图象上有一点M,求四边形ABMC面积的最大值及此时点M的坐标; (3)如图2,直线CD交x轴于点E,若点P是线段EC上的一个动点,是否存在以点、、为顶点的三角形与相似.若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过,两点. (1)求抛物线的解析式; (2)点是第一象限抛物线上一动点,连接,的延长线与轴交于点,过点作轴于点,以为轴,翻折直线,与抛物线相交于另一点.设点横坐标为,点横坐标为,求出与的函数关系式;(不要求写出自变量的取值范围); (3)在(2)的条件下,连接,点在上,且RG=RC,连接,若,求点坐标. 4.已知抛物线与直线AC相交于A、C两点,且、. (1)填空:_,_; (2)长度为的线段DE在线段AC上移动,点G与点F在上述抛物线上,且线段DG与EF始终平行于y轴. ①连接FG,求四边形DEFG的面积的最大值,并求出对应点D的坐标; ②,垂足为点H,线段DE在移动的过程中,是否存在点D,使△DEG与△ACH相似?若存在,请求出此时点D的坐标;若不存在,试说明理由. 5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,且OC=2OB=6OA=6,点P是第一象限内抛物线上的动点. (1)求抛物线的解析式; (2)连接BC与OP,交于点D,当S△PCD:S△ODC的值最大时,求点P的坐标; (3)点M在抛物线上运动,点N在y轴上运动,是否存在点M、点N.使∠CMN=90°,且△CMN与△BOC相似,若存在,请求出点M、点N的坐标. 6.如图,二次函数ybx+c的图象与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0),与y轴交于点C.若点P,Q同时从A点出发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动. (1)直接写出二次函数的解析式; (2)当P,Q运动到t秒时,将△APQ沿PQ翻折,若点A恰好落在抛物线上D点处,求出D点坐标; (3)当点P运动到B点时,点Q停止运动,这时,在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请直接写出E点坐标;若不存在,请说明理由. 7.如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的右边),与y轴交于点C,已知A(1,0),抛物线的对称轴为直线x=﹣1,顶点为P. (1)求点B的坐标及抛物线的表达式; (2)对称轴与线段BC的交点为Q,将线段PQ绕点Q,按顺时针方向旋转120°,请判断旋转后点P的对应点P′是否还在抛物线上,并说明理由; (3)在x轴上是否存在点M,使△MOC与△BCP相似?若不存在,请说明理由;若存在请直接写出点M的坐标(不必书写求解过程). 8.如图1,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣2),顶点为D,对称轴交x轴于点E. (1)求该二次函数的解析式; (2)设M为该抛物线上直线BC下方一点,是否存在点M,使四边形CMBE面积最大?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由; (3)连接CE(如图2),设点P是位于对称轴右侧该抛物线上一点,过点P作PQ⊥x轴,垂足为Q.连接PE,请求出当△PQE与△COE相似时点P的坐标. 9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点,它的对称轴与轴相交于点. (1)求点的坐标; (2)如果直线与此抛物线的对称轴交于点、与抛物线在对称轴右侧交于点,且,求此抛物线的表达式; (3)在(2)的条件下,若为抛物线上一点,且,直接写出点坐标. 10.已知抛物线经过,,三点,其对称轴交轴于点H,一次函数的图象经过点C,与抛物线交于另一点D(点D在点C的左边),与抛物线的对称轴交于点E. (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线上是否存在点F,使得点A、B、E、F构成的四边形是平行四边形,如果存在,求出点F的坐标,若不存在请说明理由 (3)设∠CEH=,∠EAH=,当时,直接写出的取值范围 11.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=﹣1,且图象经过点B(1,0