7.5 空间向量及应用课件-2023届高三数学一轮复习

第五节　空间向量及应用 【课标标准】　1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会简单应用空间两点间的距离公式.2.了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示．能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.4.理解直线的方向向量与平面的法向量．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行与垂直关系． 知识梳理 1.向量共线与向量共面定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使________． (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使_________． 2．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得____________． a＝λb p＝xa＋yb p＝xa＋yb＋zc 3．空间向量的数量积 (1)两向量的夹角 ①已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则________叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． ②范围：0≤〈a，b〉≤π. (2)两个非零向量a，b的数量积： a·b＝________________． ∠AOB |a||b|cos 〈a，b〉 4．空间向量的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．   向量表示 坐标表示 数量积 a·b ____________________ 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) ____________________ 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) ____________________ 模 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos 〈a，b〉＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 5．直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量：O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa.把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α平面，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量． (3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一． 6．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2) l1∥l2 u1∥u2⇔∃λ∈R，使得________________ l1⊥l2 u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔________________ 直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2) l∥α(l⊄α) u⊥n⇔u·n＝0⇔__________________ l⊥α u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn⇔_____________________ (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)分别是平面α，β的法向量 α∥β n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2⇔______________________ α⊥β n1⊥n2⇔n1·n2＝0⇔________________ (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 [常用结论] 1．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则点P的坐标为()． 2．在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点． 夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a，b共面．(　　) (2)对于非零向量b，由a·b＝b·c，得a＝c.(　　) (3)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(　　) (4)若是A，B，C，D空间任意四点，则有＝0.(　　) √ × × √ 2．(教材改编)若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是(　　) A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b} C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b} 答案：C 解析：A：因为(a＋b)＋(a－b)＝2a，所以a，a＋b，a－b共面，不能构成基底，排除A；B：因为(a＋b)－(a－b)＝2b，所以b，a＋b，a－b共面，不能构成