7.4直线、平面垂直的判定与性质课件-2023届高三数学一轮复习

第四节　直线、平面垂直的判定与性质 【课标标准】　1.从定义和基本事实出发，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，并加以证明.2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题． 知识梳理 1.直线与平面垂直 (1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的________，平面α叫做直线l的________．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足． 垂线 垂面 (2)判定定理与性质定理   文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条________直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线________ ⇒a∥b 相交 l⊥a l⊥b a⊂α b⊂α a∩b＝O 平行 a⊥α b⊥α 2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直． 直二面角 (2)判定定理与性质定理   文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的______，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的______，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 垂线 l⊂β l⊥α 交线 α⊥β b⊂β α∩β＝a b⊥α [常用结论] 1．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． 2．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 3．垂直于同一条直线的两个平面平行． 4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直． 5．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.(　　) (2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　) (3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　) (4)垂直于同一个平面的两个平面平行．(　　) × × × × 2．(教材改编)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　) A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 答案：C 解析：对于A，m与l可能平行或异面，故A错；对于B、D，m与n可能平行、相交或异面，故B、D错，对于C，因为n⊥β，l⊂β，所以n⊥l，故C正确，故选C. 3．(教材改编)在三棱锥P - ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心． 外 解析：如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心． (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心． 垂 解析：如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G． ∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P， ∴PC⊥平面PAB， 又AB⊂平面PAB， ∴PC⊥AB， ∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC， 又CG⊂平面PGC， ∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高． 同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高， 即O为△ABC的垂心． 4．(易错)“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：根据直线垂直平面的定义，由“直线与平面α垂直”可推出“直线与平面α内无数条直线都垂直”，反之不能由“直线与平面α内无数条直线都垂直”推出“直线与平面α垂直”．故选B. 5．(易错)已知ABCD是边长为a的正方形，点P在平面ABCD外，侧棱PA＝a，PB＝PD＝a，则该几何体P - ABCD的5个面中，互相垂直的面有________对． 5 解析：已知ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB＝PD＝a， 所以PA⊥AD，PA⊥AB，又AD∩AB＝A， 所以PA⊥平面ABCD， 因为PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAD， 所以平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD， 因为AB⊥AD，AB⊥PA，AD∩PA＝A，所以AB⊥平面PAD， 因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD， 同理可得BC⊥平面PAB，BC⊂平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC， 因为AB∥CD，所以CD⊥平面PAD，