6.4 数列求和课件-2023届高三数学一轮复习

第四节　数列求和 【课标标准】　掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法． 知识梳理 1.分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减． 2．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． 3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解． 4．倒序相加法：如果一个数列的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解． [常用结论] 1．一些常见的数列前n项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝； (2)12＋22＋…＋n2＝. 2．常见的裂项公式 (1)＝； (2)＝； (3)＝； (4)＝. 夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若数列为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.(　　) (2)当n≥2时，＝.(　　) (3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求和．(　　) (4)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列的通项公式是an＝.(　　) √ √ × √ 2．(教材改编)已知数列的通项公式为an＝2n＋n，前n项和为Sn，则S6＝________． 147 解析：S6＝＋(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝＝27－2＋21＝27＋19＝147. 3．(教材改编)在数列中，an＝，若的前n项和为，则项数n＝________． 2022 解析：记数列的前n项和为Sn， 则Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝＋…＋ ＝1－＝， 解得n＝2 022. 4．(易错)已知数列的通项公式为an＝(－1)nn2，设cn＝an＋an＋1，则数列的前200项和为(　　) A．－200 B．0 C．200 D．10 000 答案：A 解析：记数列的前200项和为Tn， Tn＝c1＋c2＋…＋c200 ＝a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a199＋a200＋a200＋a201 ＝2－a1＋a201 ＝2＋1－2012 ＝2×[3＋7＋11＋…＋399]＋1－2012 ＝2×＋1－2012 ＝40 200－40 401＋1＝－200.故选A. 5．(易错)在数列中，已知an＝(n∈N*)，则的前n项和Sn＝_______________． 解析：∵an＝ ＝，(n∈N*) ∴{an}的前n项和 Sn＝[()＋()＋()＋…＋()]＝)． 题型一　分组转化法求和 例1 [2023·江西赣州模拟]已知数列的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－2 (1)求数列的通项公式； (2)已知bn＝cos ·an，求数列的前n项和Tn. 解析：(1)当n＝1时，S1＝2a1－2，即a1＝2， 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2， 所以an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1得an＝2an－1， 即是以a1＝2为首项，公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为an＝2n. (2)bn＝cos ·an＝2n·cos ＝n·2n， ①当n为偶数时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝－2＋4－6＋8－10＋…＋2n ＝·2＝n， ②当n为奇数时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝Tn－1＋bn ＝·2＋＝－n－1， 综上：Tn＝ 题后师说 分组转化法求和的两种常见类型 巩固训练1 [2023·河南驻马店模拟]已知等差数列满足an＋1＋an＝4n＋2. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是公比为3的等比数列，且b1＝3，求数列的前n项和Sn， 解析：(1)设等差数列的公差为d. 由an＋1＋an＝4n＋2，可得a1＋nd＋a1＋(n－1)d＝2nd＋＝4n＋2， 即2d＝4，2a1－d＝2，解得d＝2，a1＝2. 所以an＝2n. (2)若数列是公比为3的等比数列，且b1－a1＝3－2＝1， 则bn－an＝3n－1. 由(1)可得bn＝an＋3n－1＝2n＋3n－1， ∴Sn＝(2＋4＋…＋2n)＋＝n(2＋2n)＋＝n＋n2＋. 题型二　裂项相消法求和 例2 [2023·河北沧州模拟]已知正项等比数列的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＝7. (1)求的通项公式； (2)记bn＝，求的前n项和Tn. 解析：(1)由题意知a1＝1，a2＋a3＝6. 设等比数列的公比为q，则q＋q2＝6， 解得q＝2或q＝－3(舍去)， 所以an＝a1qn－1＝2n－1. (2)由(1)可得Sn＝＝＝2n－1， 所以bn＝＝＝， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1－＋…＋＝1－＝. 即{bn