6.2 等差数列课件-2023届高三数学一轮复习

第二节　等差数列 【课标标准】　1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元一次函数的关系． 知识梳理 1.等差数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的_______都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．数学表达式为_______________________． (2)等差中项 若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝______． 差 同一个常数 an－an－1＝d(n≥2，d为常数) 2．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)通项公式：an＝___________． (2)前n项和公式：Sn＝________＝___________． a1＋(n－1)d na1＋d 3．等差数列的性质 (1)通项公式的推广公式：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)⇔d＝(n≠m)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则_____________． (3)等差数列的前n项和为Sn，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列． (4)S2n－1＝(2n－1)an. (5)n为奇数时，Sn＝na中，S奇＝________a中，S偶＝________a中，S奇－S偶＝________． (6)n为偶数时，S偶－S奇＝. (7)为等差数列． ak＋al＝am＋an a中 [常用结论] 1．已知数列的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列一定是等差数列，且公差为p. 2．在等差数列中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． 3．等差数列的单调性：当d>0时，是递增数列；当d<0时，是递减数列；当d＝0时，是常数列． 4．数列是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，这里公差d＝2A. 夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　) (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　) × √ × × 2．(教材改编)记Sn为等差数列的前n项和，已知S5＝5，a6＝10，则a8＝(　　) A．15　　　B．16　　　 C．19　　　D．20 答案：B 解析：设等差数列的公差为d，所以，解得， ∴a8＝－5＋3×7＝16.故选B. 3．(教材改编)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为________． 解析：设五个人所分得的面包为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d(d>0)， 则(a－2d)＋(a－d)＋a＋(a＋d)＋(a＋2d)＝5a＝100， ∴a＝20. 又由题意知(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d， 即24d＝11a， ∴d＝×20＝. ∴最小的一份为a－2d＝20－×2＝. 4．(易错)一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是(　　) A．d> B．d< C．<d< D．<d≤ 答案：D 解析：由题意可得 即 所以<d≤.故选D. 5．(易错)已知在等差数列中，＝，公差d<0，则使数列的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是________． 5 解析：∵d<0，＝，∴a3＝－a9， ∴a1＋2d＝－a1－8d， ∴a1＋5d＝0，∴a6＝0， ∴an>0(1≤n≤5)， ∴Sn取得最大值时的自然数n是5或6. 题型一　等差数列基本量的运算 例1 (1)[2023·山东威海模拟]等差数列的前n项和为Sn，若a3＝4，S9＝18，则公差d＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案：B 解析：由题可知⇒.故选B. (2)已知等差数列的前n项和为Sn，若a4＝10，S8＝92，则a2 023＝________． 6 067 解析：设等差数列的首项为a1，公差为d， 则 解得 所以a2 023＝a1＋2 022d＝1＋2 022×3＝6 067. (3)[2023·江西南昌模拟]已知等差数列的前n项和为Sn，且