5.1 平面向量的概念及线性运算课件-2023届高三数学一轮复习

第一节　平面向量的概念及线性运算 【课标标准】　 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义. 3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. 4.了解向量线性运算的性质及其几何意义． 知识梳理 1.向量的有关概念即表示 名称 定义 备注 向量 既有__________又有__________的量叫做向量；向量的大小称为向量的__________(或称__________) 记作|| 零向量 长度为_____的向量叫做零向量 记作0 单位向量 长度等于____________的向量，叫做单位向量 非零向量a的单位向量为± 大小 方向 长度 模 0 1个单位长度 平行向量 方向________或________的非零向量叫做平行向量 零向量与任意向量________或共线 共线向量 ______________的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度________且方向________的向量叫做相等向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反向量 长度________且方向________的向量叫做相反向量 零向量的相反向量仍是零向量 相同 相反 方向相同或相反 平行 相等 相同 相等 相反 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算，叫做向量的加法 (1)交换律： a＋b＝______ (2)结合律： (a＋b)＋c＝________ 减法 向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差．求两个向量差的运算叫做向量的减法 a－b＝a＋(－b) b＋a a＋(b＋c) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算叫做向量的数乘 (1)|λa|＝____； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向______；当λ<0时，λa的方向与a的方向________；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝ ________； (λ＋μ)a＝________； λ(a＋b)＝________ (λ，μ为实数) |λ||a| 相同 相反 (λμ)a λa＋μa λa＋λb 3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得________． b＝λa [常用结论] 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＝(n≥2，n∈N*)．特别地，一个封闭图形首尾顺次连接而成的向量和为零向量． 2．△ABC中的常见结论： (1)＝0⇔P为△ABC的重心； (2)·＝·＝·⇔P为△ABC的垂心； (3)()·＝()·＝()·⇔O为△ABC的外心； (4)若P为△ABC的重心，则＝)． 3．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝)． 4．若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 5．向量三角不等式：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|. 6．若平行四边形ABCD满足||＝||，则该平行四边形为矩形． 夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量就是有向线段．(　　) (2)零向量没有方向．(　　) (3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　　) (4)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　) × × × × 2．(教材改编)如图，▱ABCD的对角线交于M，若＝a，＝b，用a，b表示为(　　) A．a＋b B．a－b C．－a－b D．－a＋b 答案：D 解析：＝＝)＝(b－a)＝－a＋b. 故选D. 3．(教材改编)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝________． － 解析：依题意知向量a＋λb与2a－b共线，设a＋λb＝k(2a－b)，则有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0，所以解得k＝，λ＝－. 4．(易错)下列说法正确的是(　　) A．若|a|>|b|，则a>b B．若|a|＝|b|，则a＝b C．若a＝b，则a、b共线 D．若a≠b，则a、b不共线 答案：C 解析：对于A，向量是矢量，不能比较大小，故A错误；对于B，向量相等时，模长相等且方向相同，故B错误；对于C，若a＝b时，a与b方向相同，则a、b共线，故C正确；对于D，若a≠b时，也可能a与b方向相同或相反，即a、b可能共线，故D错误． 故选C. 5．若四边形ABCD满足∥且||＝||，则四边形ABCD的形状是____________________． 等腰梯形或平行四边形 解析：当||＝||时，四边形ABCD是平行四边形；当||≠||时，四边形ABCD是等腰梯形． 题型一