4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件-2023届高三数学一轮复习

第三节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【课标标准】　 1.会推导两角差的余弦公式. 2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式． 3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用． 必备知识·夯实双基 知识梳理 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin (α±β)＝________________． (2)cos (α±β)＝________________． (3)tan (α±β)＝__________． 2．辅助角公式：a sin x＋b cos x＝_________________，其中sin φ＝，cos φ＝. sin αcos β±cos αsin β cos αcos β∓sinαsinβ sin（x＋φ） [常用结论] 1．公式的常用变形 (1)tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan α·tan β)． (2)tan α·tan β＝1－＝－1. 2．常用拆角、拼角技巧 2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；＋α＝－(－α)． 夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　) (2)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　) (3)公式tan (α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　) (4)sin α＋cos α＝sin (α＋)．(　　) √ √ × × 2．(教材改编)sin 164°·sin 224°＋sin 254°·sin 314°＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：B 解析：原式＝sin 16°·(－cos 46°)＋(－cos 16°)·(－sin 46°)＝sin 46°·cos 16°－cos 46°sin 16°＝sin (46°－16°)＝sin 30°＝. 故选B. 3．(教材改编)若tan α＝，tan (α＋β)＝，则tan β＝________． 解析：tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝. 4．已知π<α<α＋β<2π，且满足cos α＝－，cos (α＋β)＝，则β＝________． 解析：∵cos α＝－，cos (α＋β)＝，且π<α<α＋β<2π， ∴sin α＝－，sin (α＋β)＝－， ∴cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－. ∵π<α<α＋β<2π，∴0<β<π，∴β＝. 5.(易错)已知α，β为锐角，且cos α＝，cos β＝，则α＋β＝________． 解析：因为α，β为锐角，且cos α＝，cos β＝，所以sin α＝，sin β＝.由α，β为锐角，可得0<α＋β<π，cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－，故α＋β＝. 题型一　两角和与差的正弦、余弦、正切 例 1(1)[2023·河北衡水模拟]已知α为锐角，且sin (α＋)＝sin (α－)，则tan α＝(　　) A． B．2＋ C． D． 答案：B 解析：因为sin (α＋)＝sin (α－)，所以sin α＋cos α＝sin α－cos α， 所以(＋1)cos α＝(－1)sin α，所以tan α＝＝2＋. 故选B. (2)[2023·安徽芜湖模拟]已知在△ABC中，tan A，tan B是x的方程x2＋ m(x＋1)＋1＝0的两个实根，则∠C＝________． 解析：由题设，tan A＋tan B＝－m，tan A tan B＝m＋1， 又tan C＝tan [π－(A＋B)]＝－tan (A＋B)＝－＝－1，且0<C<π， ∴C＝. 题后师说 在使用两角和与差的正弦、余弦、正切公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角转换的目的．   巩固训练1 (1)[2023·河北张家口模拟]已知cos α＝，0<α<，则sin (α＋)＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：B 解析：由cos α＝，0<α<，得sin α＝， 所以sin (α＋)＝sin α＋cos α＝＝. 故选B. (2)[2023·山东济南章丘四中月考]若cos α＝，