4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式课件-2023届高三数学一轮复习

第二节　同角三角函数的基本关系及诱导公式 【课标标准】　 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα. 2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式(±α，π±α的正弦、余弦、正切)． 知识梳理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：________________(α∈R)． (2)商数关系：tan α＝________(α≠kπ＋，k∈Z)． sin2α＋cos2α＝1 2．三角函数的诱导公式 角 函数名 sin α cos α tan α 2kπ＋α(k∈Z) ________ ________ ________ －α ________ ________ ________ π＋α ________ ________ ________ π－α ________ ________ ________ －α ________ ________   ＋α ________ ________   sin α cos α tan α －sin α cos α －tan α －sin α －cos α tan α sin α －cos α －tan α cos α sin α cos α －sin α [常用结论] 1．同角三角函数关系式的常用变形 sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；(sinα±cos α)2＝1±2sin αcos α； sin α＝tan αcos α；sin2α＝＝； cos2α＝＝. 2．诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．   夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意α，β∈R，有sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．(　　) (3)若α∈R，则tanα＝恒成立．(　　) (4)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　) × √ × × 2．(教材改编)已知tan α＝，α∈(π，)，则cos α的值是(　　) A．± B． C．－ D． 答案：C 解析：由题意可得 ∴，∴α∈(π，) ∴cos α＝－. 故选C. 3．(教材改编)已知tan α＝2，则的值为________． 3 解析：＝＝＝＝3. 4．(易错)已知A＝(k∈Z)，则A的值构成的集合是________． {2，－2} 解析：当k为偶数时， A＝＝2. 当k为奇数时， A＝＝－2. ∴A的值构成的集合是{2，－2}． 5．(易错)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为________． 解析：因为<α<，所以－<cos α<0， －1<sin α<－， 则cos α－sin α>0， 又(cos α－sin α)2＝cos2α＋sin2α－2sinαcos α＝1－2×＝， 所以cos α－sin α＝. 题型一　诱导公式 例 1(1)[2023·广东深圳高三检测]已知sin (α＋)＝－，则cos (α－)＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：D 解析：(1)∵sin (α＋)＝－，∴cos (α－)＝cos (α＋)＝sin (α＋)＝－. 故选D. (2)已知f(α)＝，求f(－1 860°). 解析：根据诱导公式有： f(α)＝＝＝cos α， 所以f(－1 860°)＝cos (－1 860°)＝cos 1 860° ＝cos (5×360°＋60°)＝cos 60°＝. 题后师说 1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤 2．常见的互余和互补的角 互余的角 －α与＋α；＋α与－α；＋α与－α；－α与α＋ 互补的角 ＋θ与－θ；＋θ与－θ 巩固训练1 (1)若cos (α＋)＝－，则sin (－α)＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：C 解析：sin (－α)＝－sin (α－)＝－sin (α＋)＝－cos (α＋)＝. 故选C. (2)[2023·江西万载模拟]化简 ＝________． －cos α 解析：原式＝＝－cos α. 题型二　同角三角函数的基本关系 角度一 已知角的某个三角函数值，求其余三角函数值 例 2 (1)已知sin α＝，α∈(，π)．求cos α，tan α的值； (2)已知tan α＝，求sin α，cos α. 解析：(1)由题设，cos α＝－＝－＝－， 所以tanα＝＝－