4.1 任意角和弧度制及三角函数的概念课件-2023届高三数学一轮复习

第一节　任意角和弧度制及三角函数的概念 【课标标准】　 1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 知识梳理 1.角的概念 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着________从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． (2)分类：按旋转方向分为________、________和零角；按终边位置分为________和轴线角． (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝______________________． 端点 正角 负角 象限角 {β|β＝α＋k·360°，k∈Z} 2．角度制与弧度制 (1)1度的角：把圆周分成360份，每一份所对的________叫1°的角． (2)1弧度的角：长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (3)1°＝________弧度，1弧度＝________度． (4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝________，面积S＝________＝________． 圆心角 半径长 |α|·r lr　 |α|r2 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝________；cos α＝________，tan α＝(x≠0)． (2)三角函数定义的推广：设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝(x≠0)． y x [常用结论] 1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．象限角 3．轴线角 4．若α∈，则sin α<α<tan α. 夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)小于90°的角是锐角．(　　) (2)锐角是第一象限角，反之亦然．(　　) (3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．(　　) (4)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.(　　) × × × √ 2．(教材改编)若θ满足sin θ<0，cos θ>0，则θ的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：D 解析：由sin θ<0，θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合，cos θ>0，θ的终边可能位于第一象限，也可能位于第四象限，也可能与x轴的非负半轴重合，故θ的终边在第四象限． 3．(教材改编)已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________． 6π 解析：设此扇形的半径为r.由题意得r＝2π，所以r＝6.所以此扇形的面积为×2π×6＝6π. 4．(易错)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z) C. k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 答案：C 解析：由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为＋2kπ或k·360°＋45°(k∈Z)． 故选C. 5．(易错)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若点A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－，则y＝________． －3 解析：由三角函数定义知：sin θ＝＝－＜0，故y＜0，解得y＝－3. 题型一　象限角与终边相同的角 例 1(1)终边在直线y＝x上的角的集合为(　　) A．{α|α＝2kπ＋，k∈Z} B．{α|α＝kπ＋，k∈Z} C．{α|α＝2kπ±，k∈Z} D．{α|α＝kπ±，k∈Z} 答案：B 解析：(1)在[0，2π]内终边在直线y＝x上的角为和＝π＋， 则终边在直线y＝x上的角的集合为{α或2kπ＋，k∈Z}， 即{α，k∈Z}． 故选B. (2)(多选)若α是第二象限的角，则的终边所在位置可能是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：ABD 解析：α是第二象限的角，则2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z， <<<，k∈Z， 当k＝3n，n∈Z时，是第一象限角，当k＝3n＋1，n∈Z时，是第二象限角， 当k＝3n＋2，n∈Z时，是第四象限角， 故选ABD. 题后师说 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角． (2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法：先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置． 巩固训练1 (1)若角α是第二象限角，则是(　　) A